التمرين رقم 23

نعتبر الصنتيمتر وحدة لقيس الأطوال.
أ) ارسم دائرة $(C)$ مركزها $O$ وشعاعها $3$، وليكن $[AB]$ قطراً لها.

التصحيح - السؤال أ

الرسم الهندسي:
1. ضع نقطة $O$ في وسط الورقة كمركز للدائرة
2. استخدم الفرجار واضبط فتحته على $3$ سم
3. ارسم الدائرة $(C)$ بمركز $O$ ونصف قطر $3$ سم
4. ارسم قطراً $[AB]$ يمر بالمركز $O$
ملاحظات مهمة:
• القطر $[AB] = 2 \times$ نصف القطر $= 2 \times 3 = 6$ سم
• النقطتان $A$ و $B$ تقعان على الدائرة
• المركز $O$ يقع في منتصف القطر $[AB]$
ب) ارسم $[Ox)$ منصف الزاوية $\angle AOB$ حيث يقطع الدائرة $(C)$ في النقطة $C$. بين أن: $(OC) \perp (AB)$

التصحيح - السؤال ب

الرسم:
1. لاحظ أن $\angle AOB$ هي زاوية منبسطة (مستقيمة) = $180°$
2. منصف هذه الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين كل منهما $90°$
3. ارسم العمود على $[AB]$ من النقطة $O$
4. هذا العمود يقطع الدائرة في النقطة $C$
البرهان أن $(OC) \perp (AB)$:
• منصف الزاوية المنبسطة $\angle AOB$ يكون عمودياً على ضلعي الزاوية
• بما أن $[Ox)$ هو منصف $\angle AOB$، فإن:
$$\angle AOX = \angle XOB = \frac{180°}{2} = 90°$$

• إذن $(OC) \perp (AB)$ لأن $\angle COA = \angle COB = 90°$
ج) بين أن: $\angle AOC = \angle ACO = 45°$

التصحيح - السؤال ج

دراسة المثلث $AOC$:
• $OA = OC = 3$ سم (نصف قطر الدائرة)
• إذن المثلث $AOC$ متقايس الضلعين
• في المثلث متقايس الضلعين، زاويتا القاعدة متساويتان
حساب الزوايا:
• من السؤال السابق: $\angle AOC = 90°$ (لأن $OC \perp AB$)
• في المثلث $AOC$: مجموع الزوايا = $180°$
$$\angle OAC + \angle ACO + \angle AOC = 180°$$

• بما أن $\angle AOC = 90°$ و $\angle OAC = \angle ACO$ (مثلث متقايس الضلعين):
$$2 \times \angle ACO + 90° = 180°$$
$$2 \times \angle ACO = 90°$$
$$\angle ACO = 45°$$

• وبالتالي: $\angle AOC = \angle ACO = 45°$ ❌
• تصحيح: $\angle AOC = 90°$ و $\angle ACO = \angle CAO = 45°$
د) برهن على أن: $\angle ACB = 90°$

التصحيح - السؤال د

$\angle ACO = \angle CAO = 45°$
• ACB = 180° - ( OAC + OBC ) 180° -( 45° + 45°)=180° - 90° =90°
• إذن: $\angle ACB = 90°$
هـ) ارسم $[Oy)$ منصف الزاوية $\angle BOC$ حيث يقطع $[BC]$ في النقطة $D$. حدد أقيسة زوايا المثلث $OBD$.

التصحيح - السؤال هـ

الرسم:
• $\angle BOC = 90°$ (من السؤال ب)
• منصف هذه الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين: $45°$ لكل منهما
• ارسم $[Oy)$ بحيث $\angle BOY = \angle YOC = 45°$
• $[Oy)$ يقطع $[BC]$ في النقطة $D$
حساب زوايا المثلث $OBD$:
• $\angle BOD = 45°$ (لأن $[OD)$ منصف $\angle BOC$)
• في المثلث $OBC$ متقايس الضلعين: $OB = OC = 3$ سم
• $\angle OBC = \angle OCB = 45°$
• في المثلث $OBD$:
$$\angle OBD = \angle OBC = 45°$$
$$\angle BOD = 45°$$
$$\angle BDO = 180° - 45° - 45° = 90°$$
النتيجة:
زوايا المثلث $OBD$ هي: $45°, 45°, 90°$
إذن المثلث $OBD$ قائم الزاوية في $D$ ومتقايس الضلعين
و) استنتج أن: $(OD) \parallel (AC)$

التصحيح - السؤال و

تحليل الوضعية:
• من السؤال د: $\angle ACB = 90°$، إذن $(AC) \perp (BC)$
• من السؤال هـ: في المثلث $OBD$، $\angle BDO = 90°$، إذن $(OD) \perp (BC)$
تطبيق خاصية التوازي:
• خاصية: إذا كان مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث، فإنهما متوازيان
• لدينا: $(AC) \perp (BC)$ و $(OD) \perp (BC)$
الاستنتاج:
• بتطبيق الخاصية أعلاه على المستقيمين $(AC)$ و $(OD)$ اللذين كلاهما عموديان على $(BC)$
• نستنتج أن: $(OD) \parallel (AC)$