أ) الرسم يتطلب أدوات هندسية.

الخطوات:

1. ارسم قطعة مستقيم [AB] بطول 8 سم.

2. حدد النقطة O في منتصف [AB] (حيث $$AO = OB = 4$$ سم).

3. ارسم دائرة ($$\mathcal{C}$$) بمركز O ونصف قطر $$R = 4$$ سم.

ب) لتعيين النقطة C:

1. افتح الفرجار بطول 4 سم (نفس طول نصف القطر).

2. ضع رأس الفرجار على النقطة A وارسم قوسًا يقطع الدائرة ($$\mathcal{C}$$).

3. نقطة التقاطع هي C.

لبيان أن المثلث OAC متقايس الأضلاع:

لدينا $$AO = 4$$ سم (نصف قطر الدائرة).

ولدينا $$OC = 4$$ سم (نصف قطر الدائرة).

ولدينا $$AC = 4$$ سم (معطى).

بما أن $$AO = OC = AC = 4$$ سم، فإن المثلث OAC متقايس الأضلاع.

ج) لتحديد $$\hat{A\hat{O}C}$$:

بما أن المثلث OAC متقايس الأضلاع (من السؤال ب)، فإن جميع زواياه متساوية وتساوي $$60^{\circ}$$.

إذن، $$\hat{A\hat{O}C} = 60^{\circ}$$.

لتحديد $$\hat{B\hat{O}C}$$:

النقاط A، O، B على استقامة واحدة (لأن [AB] قطر).

إذن، الزاوية $$\hat{A\hat{O}B}$$ هي زاوية مستقيمة قياسها $$180^{\circ}$$.

لدينا $$\hat{A\hat{O}B} = \hat{A\hat{O}C} + \hat{B\hat{O}C}$$.

$$180^{\circ} = 60^{\circ} + \hat{B\hat{O}C}$$.

$$\hat{B\hat{O}C} = 180^{\circ} - 60^{\circ}$$.

$$\hat{B\hat{O}C} = 120^{\circ}$$.

د) لإثبات أن $$\hat{O\hat{C}B} = \hat{C\hat{B}O} = 30^{\circ}$$:

في المثلث BOC:

لدينا $$OB = OC = 4$$ سم (نصفا قطر الدائرة).

إذن، المثلث BOC متقايس الساقين في O.

وبالتالي، الزاويتان القاعديتان متساويتان: $$\hat{O\hat{C}B} = \hat{C\hat{B}O}$$.

مجموع زوايا المثلث BOC هو $$180^{\circ}$$.

لدينا $$\hat{B\hat{O}C} = 120^{\circ}$$ (من السؤال ج).

إذن، $$\hat{O\hat{C}B} + \hat{C\hat{B}O} + \hat{B\hat{O}C} = 180^{\circ}$$.

$$2 \times \hat{O\hat{C}B} + 120^{\circ} = 180^{\circ}$$.

$$2 \times \hat{O\hat{C}B} = 180^{\circ} - 120^{\circ}$$.

$$2 \times \hat{O\hat{C}B} = 60^{\circ}$$.

$$\hat{O\hat{C}B} = \frac{60^{\circ}}{2}$$.

$$\hat{O\hat{C}B} = 30^{\circ}$$.

وبما أن $$\hat{O\hat{C}B} = \hat{C\hat{B}O}$$، فإن $$\hat{C\hat{B}O} = 30^{\circ}$$.

هـ) لبيان أن $$(BC) \perp (AC)$$:

نحسب قياس الزاوية $$\hat{A\hat{C}B}$$.

لدينا $$\hat{A\hat{C}B} = \hat{A\hat{C}O} + \hat{O\hat{C}B}$$.

من السؤال ج، المثلث OAC متقايس الأضلاع، إذن $$\hat{A\hat{C}O} = 60^{\circ}$$.

من السؤال د، $$\hat{O\hat{C}B} = 30^{\circ}$$.

إذن، $$\hat{A\hat{C}B} = 60^{\circ} + 30^{\circ}$$.

$$\hat{A\hat{C}B} = 90^{\circ}$$.

بما أن قياس الزاوية $$\hat{A\hat{C}B}$$ هو $$90^{\circ}$$، فإن المستقيمين $$(BC)$$ و $$(AC)$$ متعامدان.

طريقة أخرى: بما أن C نقطة من الدائرة و [AB] قطر، فإن المثلث ACB قائم الزاوية في C (نظرية الدائرة المحيطة بالمثلث القائم).

و) الرسم يتطلب أدوات هندسية.

لإنشاء المستقيم المار من O والموازي لـ $$(AC)$$:

1. ارسم خطًا يمر بالنقطة O ويوازي المستقيم $$(AC)$$.

2. النقطة D هي تقاطع هذا الخط مع قطعة المستقيم $$[BC]$$.

ز) لتحديد أقيسة زوايا المثلث OCD:

في المثلث OCD:

1. الزاوية $$\hat{C\hat{O}D}$$:

بما أن المستقيم المار من O موازٍ لـ $$(AC)$$، و $$(OC)$$ هو قاطع لهما.

فإن الزاويتين $$\hat{A\hat{C}O}$$ و $$\hat{C\hat{O}D}$$ هما زاويتان متبادلتان داخلياً.

بما أن المثلث OAC متقايس الأضلاع، فإن $$\hat{A\hat{C}O} = 60^{\circ}$$.

إذن، $$\hat{C\hat{O}D} = \hat{A\hat{C}O} = 60^{\circ}$$.

2. الزاوية $$\hat{O\hat{C}D}$$:

الزاوية $$\hat{O\hat{C}D}$$ هي نفسها الزاوية $$\hat{O\hat{C}B}$$ لأن D تقع على [BC].

من السؤال د، $$\hat{O\hat{C}B} = 30^{\circ}$$.

إذن، $$\hat{O\hat{C}D} = 30^{\circ}$$.

3. الزاوية $$\hat{O\hat{D}C}$$:

مجموع زوايا المثلث OCD هو $$180^{\circ}$$.

$$\hat{O\hat{D}C} = 180^{\circ} - (\hat{C\hat{O}D} + \hat{O\hat{C}D})$$

$$\hat{O\hat{D}C} = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ})$$

$$\hat{O\hat{D}C} = 180^{\circ} - 90^{\circ}$$

$$\hat{O\hat{D}C} = 90^{\circ}$$.

إذن، المثلث OCD هو مثلث قائم الزاوية في D.

ح) لبيان أن نصف المستقيم $$[OD)$$ هو منصف الزاوية $$\hat{B\hat{O}C}$$:

نحتاج إلى إثبات أن $$\hat{B\hat{O}D} = \hat{D\hat{O}C}$$.

من السؤال ج، لدينا $$\hat{B\hat{O}C} = 120^{\circ}$$.

من السؤال ز، لدينا $$\hat{D\hat{O}C} = 60^{\circ}$$.

بما أن D تقع على [BC]، فإن $$\hat{B\hat{O}D} = \hat{B\hat{O}C} - \hat{D\hat{O}C}$$.

$$\hat{B\hat{O}D} = 120^{\circ} - 60^{\circ}$$.

$$\hat{B\hat{O}D} = 60^{\circ}$$.

بما أن $$\hat{B\hat{O}D} = 60^{\circ}$$ و $$\hat{D\hat{O}C} = 60^{\circ}$$.

فإن $$\hat{B\hat{O}D} = \hat{D\hat{O}C}$$.

وبالتالي، نصف المستقيم $$[OD)$$ هو منصف الزاوية $$\hat{B\hat{O}C}$$.