أ) الرسم يتطلب أدوات هندسية.

الخطوات:

1. ارسم مستقيماً يمثل الزاوية المنبسطة $\angle xOy$، أي خطاً مستقيماً يمر بالنقطة O.

2. ضع رأس المنقلة عند النقطة O، وضع خط الصفر للمنقلة على نصف المستقيم $[Oy)$.

3. حدد علامة عند $60°$.

4. ارسم نصف المستقيم $[Oz)$ من النقطة O ماراً بهذه العلامة.

ب) تحديد نوع الزاويتين $\angle xOz$ و $\angle yOz$:

الزاويتان $\angle xOz$ و $\angle yOz$ متجاورتان لأنهما تشتركان في الرأس O ونصف المستقيم $[Oz)$ وضلعيهما الآخران $[Ox)$ و $[Oy)$ على استقامة واحدة (لأن $\angle xOy$ زاوية منبسطة).

وبما أن مجموع قياسهما يساوي قياس الزاوية المنبسطة ($180°$)، فهما زاويتان متكاملتان.

لحساب $\angle xOz$:

نعلم أن $\angle xOy = 180°$ (زاوية منبسطة).

ونعلم أن $\angle yOz = 60°$ (معطى).

بما أن $\angle xOz$ و $\angle yOz$ متكاملتان، فإن:

$$\angle xOz + \angle yOz = 180°$$

$$\angle xOz + 60° = 180°$$

$$\angle xOz = 180° - 60°$$

$$\angle xOz = 120°$$

أ) الرسم يتطلب أدوات هندسية.

الخطوات:

1. بما أن $\angle yOt$ مجاورة ومكملة للزاوية $\angle yOz$، فهذا يعني أن ضلعي الزاويتين غير المشتركين، أي $[Oz)$ و $[Ot)$، يشكلان مستقيماً (أي زاوية منبسطة).

2. وبالتالي، نصف المستقيم $[Ot)$ سيكون على استقامة واحدة مع نصف المستقيم $[Oz)$ ولكن في الاتجاه المعاكس من O.

3. ببساطة، ارسم امتداداً لنصف المستقيم $[Oz)$ عبر النقطة O؛ هذا الامتداد هو نصف المستقيم $[Ot)$.

ب) إيجاد التقاطعات:

1. $\angle xOz \cap \angle yOz$:

الزاويتان $\angle xOz$ و $\angle yOz$ متجاورتان وتشتركان في نصف المستقيم $[Oz)$.

لذلك، تقاطعهما هو نصف المستقيم $[Oz)$.

2. $\angle yOt \cap \angle xOz$:

الزاوية $\angle yOt$ هي الزاوية التي تكون فيها $[Oy)$ و $[Ot)$ ضلعين.

الزاوية $\angle xOz$ هي الزاوية التي تكون فيها $[Ox)$ و $[Oz)$ ضلعين.

نصف المستقيم $[Oy)$ يقع ضمن الزاوية $\angle xOt$ لأن $[Ot)$ هو امتداد لـ $[Oz)$.

نصف المستقيم $[Oz)$ يقع ضمن الزاوية $\angle xOy$.

بما أن $\angle yOt$ و $\angle yOz$ متكاملتان ومجاورتان، فإن $[Ot)$ و $[Oz)$ على استقامة واحدة.

وبما أن $\angle xOy$ زاوية منبسطة، فإن $[Ox)$ و $[Oy)$ على استقامة واحدة.

التقاطع بين $\angle yOt$ و $\angle xOz$ هو ببساطة النقطة O لأن ليس لديهما منطقة مشتركة بخلاف الرأس المشترك O.

ملاحظة: إذا كان المقصود هو المنطقة المشتركة بين هاتين الزاويتين كأقواس، فالتقاطع هو مجرد النقطة O لأن اتجاهاتهما مختلفة تماماً.

(3) أ) الرسم يتطلب أدوات هندسية.

لإنشاء $[Ou)$ منصف الزاوية $\angle xOz$:

1. بما أن $\angle xOz = 120°$ (من السؤال 1/ب).

2. فإن منصف الزاوية $[Ou)$ سيقسمها إلى زاويتين متساويتين:

$$\angle xOu = \angle uOz = \frac{1}{2} \times 120° = 60°$$

3. استخدم منقلة أو فرجار لإنشاء المنصف.

ب) لبيان أن الزاويتين $\angle xOu$ و $\angle yOt$ متكاملتان:

نحن نعلم أن $\angle xOu = 60°$ (بما أن $[Ou)$ هو منصف $\angle xOz$).

نحن نعلم أن $\angle yOz = 60°$ (معطى).

وبما أن $\angle yOt$ و $\angle yOz$ متكاملتان (من السؤال 2/أ)، فإن:

$$\angle yOt + \angle yOz = 180°$$

$$\angle yOt + 60° = 180°$$

$$\angle yOt = 180° - 60° = 120°$$

الآن، نجمع قياس الزاويتين $\angle xOu$ و $\angle yOt$:

$$\angle xOu + \angle yOt = 60° + 120° = 180°$$

بما أن مجموع قياسهما $180°$، فإن الزاويتين $\angle xOu$ و $\angle yOt$ متكاملتان.