تمرين هندسة الدوائر والزوايا - التمرين رقم 21

الحل التفصيلي:

1. نرسم القطعة المستقيمة [AB] بطول 6 وحدات
2. نرسم الدائرة (A,3):
   • مركزها النقطة A
   • نصف قطرها 3 وحدات (نصف AB)
3. نفترض أن C¹ هي الدائرة (B,3) (حسب سياق التمرين):
   • مركزها النقطة B
   • نصف قطرها 3 وحدات
4. الوضعية النسبية:
   • المسافة بين المركزين AB = 6
   • مجموع نصف القطرين = 3 + 3 = 6
   • إذن الدائرتان متماستان من الخارج

الحل التفصيلي:

1. نقطة O هي منتصف [AB] لذا:
   • AO = OB = 3 وحدات
2. النقطة O تمثل أيضًا:
   • نقطة التماس بين الدائرتين (A,3) و (B,3)
   • مركز الدائرة المحيطة إذا اعتبرنا دائرة قطرها AB

الحل التفصيلي:

1. نرسم المستقيم A العمودي على [AB] في النقطة A
2. هذا المستقيم يقطع الدائرة (A,3) في نقطتين M و N:
   • AM = AN = 3 (أنصاف أقطار)
   • المثلث AMO قائم في A (لأن A عمودي على AB)
3. حساب الزوايا:
   • في المثلث AMO القائم في A:
   • AO = 3 (نصف AB)
   • AM = 3 (نصف قطر)
   • إذن المثلث متقايس الضلعين
   • لذلك AM̂O = AÔM = (180°-90°)/2 = 45°

الحل التفصيلي:

1. النقط M و N تقعان على الدائرة (A,3)
2. O منتصف AB و AO = 3
3. المثلث MON:
   • MO = NO = 3√2 (حسب نظرية فيثاغورس في المثلث AMO)
   • MN = 6 (قطر الدائرة العمودي على AB)
   • باستخدام عكس نظرية فيثاغورس:
   • (3√2)² + (3√2)² = 18 + 18 = 36 = 6²
   • إذن الزاوية MON قائمة
4. أو يمكن إثبات أن MN قطر في دائرة O وبالتالي الزاوية المحيطية المقابلة له قائمة

الحل التفصيلي:

1. النقطة P تقع على تقاطع (OM) مع الدائرة (B,3)
2. الزوايا:
   • OP̂B = 45° (مشابهة لـ AM̂O)
   • BÔP = 45° (المثلث BOP متقايس الضلعين OB = BP = 3)

الحل التفصيلي:

1. |MN| = 6 (قطر الدائرة A)
2. |BP| = 3 (نصف قطر الدائرة B)
3. النسبة |BP|/|MN| = 3/6 = 1/2

الحل التفصيلي:

1. المماس يكون عمودياً على نصف القطر عند نقطة التماس
2. نرسم المستقيم العمودي على BP عند النقطة P
3. هذا المستقيم هو المماس المطلوب