تمارين في الهندسة

المثلثات والمواسط العمودية
المثلث القائم والموسط العمودي
تمرين 13

ارسم مثلثا ABC قائما في A حيث AB = 6cm و AC = 4cm.

  1. ابنِ Δ الموسط العمودي ل [AB].
  2. يقطع (BC) في E. ما هي طبيعة المثلث EAB؟ علل جوابك.
شكل تمرين 13
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

فكر في خصائص المثلث القائم: إذا كان المثلث ABC قائماً في A، فما العلاقة بين (AB) و (AC)؟ وماذا عن علاقة الموسط العمودي Δ مع (AB)؟ استخدم خاصية النقاط على الموسط العمودي.

📝 الطريقة

  1. تحليل التوازي: المثلث ABC قائم في A ⟹ (AB) ⊥ (AC)
  2. Δ موسط عمودي لـ [AB] ⟹ Δ ⊥ (AB)
  3. استنتج العلاقة بين (AC) و Δ
  4. تحليل المثلث EAB: النقطة E على الموسط العمودي Δ
  5. استخدم خاصية: النقاط على الموسط العمودي متساوية البعد عن طرفي القطعة
  6. حدد طبيعة المثلث EAB

✅ الحل الكامل

  1. العلاقة بين (AC) و Δ:
    بما أن المثلث ABC قائم في A فإن (AB) ⊥ (AC).
    وبما أن Δ الموسط العمودي لـ [AB] فإن Δ ⊥ (AB).
    وبالتالي (AC) // Δ.
  2. طبيعة المثلث EAB:
    النقطة E تنتمي إلى Δ الموسط العمودي لـ [AB] إذن هي متساوية البعد عن طرفي القطعة.
    يعني EA = EB و بالتالي المثلث EAB متقايس الأضلاع قمته الرئيسية E.
المثلث متقايس الأضلاع والموسط العمودي
تمرين 14

نعتبر الرسم التالي حيث المثلث ABC متقايس الأضلاع قمته الرئيسية A حيث AB = AC = 4cm و BC = 3cm.

  1. عين نقطة I من [BC] حيث IC = 2cm. أثبت أن (AI) الموسط العمودي لـ [BI].
  2. ما هو الوضع النسبي لـ (AI) و Δ ؟
شكل تمرين 14
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

في المثلث متقايس الأضلاع ABC قمته A، تذكر أن AB = AC. هذا يعني أن A تقع على الموسط العمودي لـ [BC]. احسب المسافة BI واستخدم خصائص الموسط العمودي.

📝 الطريقة

  1. لإثبات أن (AI) موسط عمودي لـ [BI]:
    • احسب المسافة BI: BI = BC - IC
    • قارن BI مع IC لتحديد موقع I
    • استخدم خاصية المثلث متقايس الأضلاع
    • طبق تعريف الموسط العمودي
  2. لتحديد الوضع النسبي لـ (AI) و Δ:
    • حدد ما هو Δ (الموسط العمودي لـ [BI])
    • حدد العلاقة بين (AI) و المستقيم (BC)
    • استخدم خاصية المستقيمات العمودية على نفس المستقيم

✅ الحل الكامل

  1. إثبات أن (AI) موسط عمودي لـ [BC]:
    لدينا المثلث ABC متقايس الأضلاع قمته الرئيسية A إذن AC = AB.
    وبما أن A تنتمي إلى الموسط العمودي ل [BC].
    لدينا BI = BC - IC = 3 - 2 = 1cm
    إذن IB = IC = 2cm وبالتالي I منتصف [BC].
    بما أن I تنتمي إلى الموسط العمودي ل [BC] إذن (AI) هو الموسط العمودي ل [BC].
  2. الوضع النسبي لـ (AI) و Δ:
    بما أن Δ هو الموسط العمودي ل [BI]، (AI) هو الموسط العمودي ل [BC].
    وبما أن B و C و I على استقامة واحدة فإن (AI) ⊥ (BC) و (Δ) ⊥ (BI).
    وبما أن (AI) هو الموسط العمودي ل [BC] فإن (AI) ⊥ (BC).
    وبالتالي (AI) و Δ يعامدان نفس المستقيم (BC) إذن هما متوازيان.
بناء المستقيمات العمودية والمتوازية
تمرين 15

نعتبر المثلث ABC التالي:

شكل تمرين 15
  1. ابن المستقيم D₁ المار من C والعمودي على المستقيم (AB).
  2. ابن المستقيم D₂ المار من B والعمودي على المستقيم (AB).
  3. لنبين أن المستقيم D₁ موازي للمستقيم D₂. أكمل الفراغات بما يناسب:
    لدينا المستقيم D₁ .......... على المستقيم (AB) إذن المستقيمان D₁ و .......... يعامدان نفس المستقيم .......... و بالتالي D₁ // D₂.
  4. ابن المستقيم D₃ المار من A والموازي للمستقيم D₁.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر القاعدة الأساسية: إذا كان مستقيمان عموديان على نفس المستقيم، فهما متوازيان. في هذا التمرين، كل من D₁ و D₂ عموديان على المستقيم (AB).

📝 الطريقة

  1. الإنشاءات: أنجز الخطوات 1، 2، و 4 باستخدام الكوس والمسطرة
  2. لإكمال الفراغات في الخطوة 3:
    • الفراغ الأول: كيف D₁ بالنسبة لـ (AB)؟
    • الفراغ الثاني: ما هو المستقيم الآخر العمودي على (AB)؟
    • الفراغ الثالث: على أي مستقيم يعامد كل من D₁ و D₂؟
  3. طبق القاعدة: مستقيمان عموديان على نفس المستقيم ⟹ متوازيان

✅ الحل الكامل

  1. و 2. (تم الإنشاء في الرسم)
  2. إكمال الفراغات:
    لدينا المستقيم D₁ عمودي على المستقيم (AB)
    إذن المستقيمان D₁ و D₂ يعامدان نفس المستقيم (AB)
    و بالتالي D₁ // D₂.
  3. (تم الإنشاء في الرسم)

التعليل: بما أن كلاً من D₁ و D₂ عموديان على المستقيم (AB)، فحسب القاعدة الهندسية "مستقيمان عموديان على نفس المستقيم فهما متوازيان"، نستنتج أن D₁ // D₂.