تمارين في الهندسة

المستقيمات والمثلثات - مستوى متقدم
المثلث القائم والتوازي
تمرين 16

لاحظ الرسم التالي حيث MNP مثلث قائم الزاوية في M و Q نقطة من القطعة [PN].

شكل تمرين 16
  1. ابن المستقيم D₁ المار من P والعمودي على المستقيم (MP).
  2. ابن المستقيم D₂ المار من Q والعمودي على المستقيم (MP).
  3. لنبين أن المستقيم (MN) موازي للمستقيم (D₁). أكمل الفراغات بما يناسب:
    لدينا المثلث MNP قائم الزاوية في M إذن (MP) ⊥ ........
    والمستقيم D₁ ........ على المستقيم ........ إذن المستقيمان ........ و ........ يعامدان نفس المستقيم ........ و بالتالي (MN) // D₁.
  4. لنبين أن المستقيم D₁ موازي للمستقيم D₂. أكمل الفراغات بما يناسب:
    لدينا المستقيم D₂ الموسط العمودي للمستقيم (MN) إذن D₂ ⊥ (MN).
    لدينا حسب السؤال 3 : (MN) // D₁.
    إذن D₁ ........ D₂ لأنه إذا كان مستقيمان متوازيان كل مستقيم عمودي على أحدهما هو ........ على الآخر.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

في المثلث القائم MNP قائم في M، تذكر أن (MP) ⊥ (MN). استخدم قاعدة: مستقيمان عموديان على نفس المستقيم فهما متوازيان. للسؤال الرابع، استخدم خاصية: إذا كان مستقيمان متوازيان، فكل مستقيم عمودي على أحدهما عمودي على الآخر.

📝 الطريقة

  1. إنشاء D₁ و D₂: استخدم الكوس لرسم المستقيمات العمودية
  2. لإكمال السؤال 3:
    • المثلث MNP قائم في M ⟹ (MP) عمودي على ماذا؟
    • D₁ كيف بالنسبة لـ (MP)؟ وما هو المستقيم المقصود؟
    • أي مستقيمان يعامدان نفس المستقيم؟
  3. لإكمال السؤال 4:
    • استخدم نتيجة السؤال 3: (MN) // D₁
    • D₂ ⊥ (MN)، إذن ما علاقة D₁ مع D₂؟
    • طبق القاعدة: مستقيمان متوازيان + مستقيم عمودي على أحدهما

✅ الحل الكامل

  1. السؤال 3 - إكمال الفراغات:
    لدينا المثلث MNP قائم الزاوية في M إذن (MP) ⊥ (MN).
    والمستقيم D₁ عمودي على المستقيم (MP) إذن المستقيمان (MN) و D₁ يعامدان نفس المستقيم (MP) و بالتالي (MN) // D₁.
  2. السؤال 4 - إكمال الفراغات:
    لدينا المستقيم D₂ الموسط العمودي للمستقيم (MN) إذن D₂ ⊥ (MN).
    لدينا حسب السؤال 3 : (MN) // D₁.
    إذن D₁ ⊥ D₂ لأنه إذا كان مستقيمان متوازيان كل مستقيم عمودي على أحدهما هو عمودي على الآخر.
المستطيل والموسط العمودي
تمرين 17

ارسم مستطيلا ABCD ثم ابن المستقيم Δ الموسط العمودي للقطعة [AB].

  1. ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين (BC) و (AB) ؟ علل جوابك.
  2. استنتج أن المستقيمين (BC) و Δ متوازيان.
شكل تمرين 17
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

في المستطيل، جميع الزوايا قائمة. إذن العلاقة بين أضلاع المستطيل المتجاورة هي العمودية. استخدم خاصية الموسط العمودي وقاعدة المستقيمات العمودية على نفس المستقيم.

📝 الطريقة

  1. للسؤال الأول:
    • ABCD مستطيل ⟹ جميع الزوايا قائمة
    • تحديداً الزاوية عند B قائمة
    • إذن العلاقة بين (AB) و (BC) هي؟
  2. للسؤال الثاني:
    • Δ موسط عمودي لـ [AB] ⟹ Δ ⊥ (AB)
    • من السؤال الأول: (BC) ⊥ (AB)
    • إذن كلاً من Δ و (BC) عمودي على (AB)
    • استنتج العلاقة بين Δ و (BC)

✅ الحل الكامل

  1. الوضعية النسبية لـ (BC) و (AB):
    لدينا الرباعي ABCD مستطيل إذن زواياه الأربعة قائمة.
    وبالتالي المستقيم (AB) عمودي على المستقيم (BC).
  2. التوازي بين (BC) و Δ:
    لدينا المستقيم Δ هو الموسط العمودي للقطعة [AB] إذن Δ ⊥ (AB).
    حسب السؤال الأول لدينا (BC) ⊥ (AB) و Δ ⊥ (AB).
    إذن المستقيمان Δ و (BC) عموديان على نفس المستقيم (AB) وبالتالي هما متوازيان.
حساب المسافات في المثلث القائم
تمرين 18

ارسم مثلثا ABC قائم الزاوية في النقطة A حيث AB = 3cm و AC = 5cm.

شكل تمرين 18
  1. كم يساوي بعد النقطة B عن المستقيم (AC).
  2. كم يساوي بعد النقطة C عن المستقيم (AB).
  3. ابن النقطة H المسقط العمودي للنقطة A على المستقيم (BC). ما هو بعد النقطة A عن المستقيم (BC).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

في المثلث القائم ABC قائم في A: (AB) ⊥ (AC). المسافة من نقطة إلى مستقيم هي طول العمودي من النقطة على المستقيم. بما أن الزاوية قائمة في A، فإن AB هو العمودي من B على (AC)، و AC هو العمودي من C على (AB).

📝 الطريقة

  1. للسؤال الأول:
    • المثلث قائم في A ⟹ (AB) ⊥ (AC)
    • المسافة من B إلى (AC) = طول العمودي من B على (AC)
    • هذا العمودي هو AB نفسه
    • إذن المسافة = AB = 3cm
  2. للسؤال الثاني: نفس المنطق مع C و (AB)
  3. للسؤال الثالث:
    • المسقط العمودي لـ A على (BC) هو النقطة H
    • بحيث (AH) ⊥ (BC)
    • المسافة من A إلى (BC) = AH

✅ الحل الكامل

  1. بعد النقطة B عن المستقيم (AC):
    لدينا المستقيم (AB) عمودي على المستقيم (AC) في النقطة A.
    إذن بعد النقطة B عن المستقيم (AC) يساوي البعد AB أي 3cm.
  2. بعد النقطة C عن المستقيم (AB):
    لدينا المستقيم (AB) عمودي على المستقيم (AC) في النقطة A.
    إذن بعد النقطة C عن المستقيم (AB) يساوي البعد AC أي 5cm.
  3. بعد النقطة A عن المستقيم (BC):
    بعد النقطة A عن المستقيم (BC) هو البعد AH، لأن (AH) ⊥ (BC) في النقطة H.
بناء تدريجي والمسافة إلى الموسط العمودي
تمرين 19
شكل تمرين 19
  1. ارسم مستقيم D و عين عليه نقطة A.
  2. ابن المستقيم D₁ العمودي على D في النقطة A.
  3. عين نقطة B من D₁ تبعد عن A بـ 4cm.
  4. ابن D₂ الموسط العمودي للقطعة [AB].
  5. كم يبعد النقطة A عن المستقيم D₂؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

D₂ هو الموسط العمودي للقطعة [AB]. تذكر أن الموسط العمودي يمر بمنتصف القطعة. المسافة من طرف القطعة إلى منتصفها هي نصف طول القطعة. إذا كان AB = 4cm، فكم تبعد A عن منتصف AB؟

📝 الطريقة

  1. الإنشاءات 1-4: استخدم المسطرة والكوس حسب التعليمات
  2. لحساب المسافة من A إلى D₂:
    • D₂ هو الموسط العمودي لـ [AB]
    • إذن D₂ يمر بمنتصف [AB]
    • المسافة من A إلى منتصف AB = AB ÷ 2
    • AB = 4cm (معطى)
    • إذن المسافة = 4 ÷ 2 = 2cm

✅ الحل الكامل

بما أن D₂ الموسط العمودي للقطعة [AB] إذن بعد النقطة A عن المستقيم D₂ يساوي نصف بعد النقطة B عن النقطة A.

وبالتالي بعد النقطة A عن المستقيم D₂ يساوي 2cm.

المسافة = AB ÷ 2 = 4cm ÷ 2 = 2cm