إصلاح التمارين والاختبارات

اضغط على الأزرار أدناه لعرض التصحيح المفصل لكل تمرين
المثلث والوسط العمودي
تمرين 1

ليكن ABC مثلثا

1) إن الوسط العمودي لقطعة [AB] والذي يقطع (AB) في I و (BC) في J

2) إن الوسط العمودي على المستقيم (H) والعمار من النقطة I والذي يقطع (BC) في J

3) أثبت أن المستقيمين (AB) و (IK) متوازيان والذي يقطع (AC) في K

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر أن هناك خطأ في نص التمرين. المقصود هو إثبات أن (AB) يوازي (JK). فكر في الخصائص الهندسية للوسط العمودي والمستقيمات العمودية.

📝 الطريقة

  1. من المعطيات: (IJ) هو الوسط العمودي للقطعة [AB]
  2. إذن: (IJ) ⊥ (AB)
  3. من المعطيات: المستقيم (JK) عمودي على (IJ)
  4. إذن: (JK) ⊥ (IJ)
  5. استنتج العلاقة بين (AB) و (JK)

✅ الحل الكامل

لدينا من المعطيات أن (IJ) هو الوسط العمودي للقطعة [AB].

إذن: \((IJ) \perp (AB)\)

و لدينا من المعطيات أن المستقيم (JK) عمودي على (IJ).

إذن: \((JK) \perp (IJ)\)

بما أن المستقيمين (AB) و (JK) عموديان على نفس المستقيم (IJ)، فهما متوازيان.

ومنه: \((AB) // (JK)\)
المثلث القائم والمستطيل
تمرين 2

ليكن ABC مثلثا قائم الزاوية في A حيث [AB] متناصف

أ) 1) إن الوسط العمودي على (AB) والعمار من النقطة I

ب) إن الوسط العمودي على (H) والعمار من I والذي يقطع (BC) في النقطة J

1) 2) أثبت أن المستقيمين (AB) و (JK) متوازيان والذي يقطع (AC) في النقطة K

ب) أثبت أن المستقيمين (AK) ( KJ ) متعامدان

ج) ما هو نوع الرباعي AIJK؟ على جوابك

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم حقيقة أن المثلث قائم الزاوية في A، وتذكر خصائص المستقيمات العمودية والمتوازية. فكر في الزوايا القائمة في الرباعي.

📝 الطريقة

  1. أثبت أولاً التوازي: (IJ) ⊥ (BA) و (JK) ⊥ (IJ) ⟹ (KJ) // (BA)
  2. استخدم حقيقة أن المثلث قائم في A: (BA) ⊥ (CA)
  3. استنتج: (KJ) ⊥ (KA)
  4. احسب جميع زوايا الرباعي KIJA
  5. حدد نوع الرباعي

✅ الحل الكامل

لدينا: \((IJ) \perp (BA)\) (من 1-أ)
و \((JK) \perp (IJ)\) (من 1-ب)
ومنه: \((KJ) // (BA)\)

لدينا: \((BA) \perp (CA)\) (لأن المثلث CBA قائم الزاوية في A و K تنتمي إلى (CA))

وبما أن \((KJ) // (BA)\) (من البرهان السابق)

ومنه: \((KJ) \perp (KA)\)

في الرباعي KIJA، كل الزوايا قائمة.

ومنه فإن الرباعي KIJA مستطيل.

المربع والمسافات
تمرين 3

مربع مركزه O وطول ضلعه 5 سم

أكمل الفراغات:

أ) بعد النقطة A عن المستقيم (BC) يساوي .........

ب) بعد النقطة A عن المستقيم (AC) يساوي .........

ج) بعد النقطة O عن المستقيم (BC) يساوي .........

د) بعد النقطة O عن المستقيم (BD) يساوي .........

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر أن طول ضلع المربع 5 سم. فكر في خصائص المربع: الأضلاع متساوية ومتوازية، والقطران متعامدان ومتساويان. ما هي المسافة من نقطة إلى مستقيم؟

📝 الطريقة

  1. بعد النقطة A عن (BC): هو طول الضلع = 5
  2. بعد النقطة A عن (AC): النقطة A تنتمي للمستقيم (AC), إذن المسافة = 0
  3. بعد النقطة O عن (BC): هو نصف طول الضلع = 5/2 = 2.5
  4. بعد النقطة O عن (BD): O تنتمي لقطر (BD), إذن المسافة = 0

✅ الحل الكامل

بعد النقطة A عن المستقيم (CB) يساوي 5 سم.
بعد النقطة A عن المستقيم (CA) يساوي 0 (لأن \(A \in (CA)\)).
بعد النقطة O عن المستقيم (CB) يساوي 2.5 سم.
بعد النقطة O عن المستقيم (BD) يساوي 0 (لأن \(O \in (BD)\)).
الدائرة والمماسات
تمرين 4

في دائرة مركزها النقطة O ليكن [MN] قطرا لها

1) إن المماسان △ و △' في كل من النقطتين M و N

2) أثبت أن △ // △'

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تذكر خاصية المماس للدائرة: المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس. إذا كان لديك مستقيمان عموديان على نفس المستقيم، فما العلاقة بينهما؟

📝 الطريقة

  1. لدينا: △ مماس للدائرة (C) في M
  2. إذن: (NM) ⊥ △
  3. لدينا: △' مماس للدائرة (C) في N
  4. إذن: (NM) ⊥ △'
  5. استنتج العلاقة بين △ و △'

✅ الحل الكامل

لدينا: Δ مماس للدائرة (C) في M.

ومنه: \((NM) \perp \Delta\)

و لدينا: Δ' مماس للدائرة (C) في N.

ومنه: \((NM) \perp \Delta'\)

بما أن Δ و Δ' عموديان على نفس المستقيم (NM).

وبالتالي: \(\Delta // \Delta'\)
المثلث والمستطيل
تمرين 5

وحدة قياس الطول هي السنتمتر

1) ارسم مثلث BUT قائم الزاوية في B حيث BU=6, BT=4

عين النقطة A من قطعة [BU] حيث UA = 2.5

2) إن العمودي على المستقيم (BU) من النقطة A والمار بالنقطة I يقطع المستقيم (UT) في النقطة I

أثبت أن المستقيمين (BT) و (AI) متوازيان

3) إن العمودي على المستقيم (BT) والمار من النقطة I يقطع المستقيم (BT) في النقطة E

أثبت أن المستقيمين (IE) و (AI) متعامدان

4) ما هي طبيعة الرباعي BAIE؟ علل جوابك

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم حقيقة أن المثلث قائم في B، واستعن بخصائص المستقيمات العمودية والمتوازية. فكر في جميع الزوايا القائمة في الرباعي BAIE.

📝 الطريقة

  1. أثبت التوازي: (TB) ⊥ (UB) و (AI) ⊥ (UB) ⟹ (AI) // (TB)
  2. أثبت التعامد: (AI) // (TB) و (EI) ⊥ (TB) ⟹ (EI) ⊥ (AI)
  3. احسب زوايا الرباعي BAIE
  4. استنتج نوع الرباعي

✅ الحل الكامل

لدينا: \((TB) \perp (UB)\) (لأن المثلث UTB قائم الزاوية في B).
و لدينا: \((AI) \perp (UB)\) (معطى).
ومنه: \((AI) // (TB)\)

لدينا: \((AI) // (TB)\) و \((EI) \perp (TB)\) (من الإنشاء).

إذن: \((EI) \perp (AI)\)

الرباعي BAIE زواياه قائمة، فهو مستطيل.

المستطيل والوسط العمودي
تمرين 6

ارسم مستطيل ABCD حيث AD= 4 و AB= 7

1) إن △ الوسط العمودي لقطعة المستقيم [AC]

2) عين النقطة F بحيث يكون المستقيم △ الوسط العمودي لـ [BF] ومار بالنقطة G

أثبت أن المستقيم △ الوسط العمودي لـ [DG] ومار بالنقطة F

3) أثبت أن المستقيمين (BF) و (DG) متوازيان

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خصائص الوسط العمودي: إذا كان مستقيم هو الوسط العمودي لقطعتين مختلفتين، فما العلاقة بين هاتين القطعتين؟

📝 الطريقة

  1. لدينا: Δ هو الوسط العمودي لـ [FB]
  2. إذن: Δ ⊥ (FB)
  3. لدينا: Δ هو الوسط العمودي لـ [DG]
  4. إذن: Δ ⊥ (DG)
  5. استنتج العلاقة بين (FB) و (DG)

✅ الحل الكامل

لدينا: Δ هو الوسط العمودي لـ [FB].

ومنه: \(\Delta \perp (FB)\)

و لدينا: Δ هو الوسط العمودي لـ [DG].

ومنه: \(\Delta \perp (DG)\)

بما أن المستقيمان (FB) و (DG) عموديان على نفس المستقيم Δ.

ومنه فإن المستقيمان (FB) و (DG) متوازيان.