المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة
فوزي الغربي
ليكن $ABC$ مثلث و $M$ نقطة داخل هذا المثلث. المستقيم $(AM)$ يقطع $[BC]$ في $I$.
طبق المتباينة المثلثية على المثلثات الصغيرة داخل الشكل الكبير، مثل المثلث $AIC$ والمثلث $BMI$.
لإثبات (ب): ابدأ من المتباينة $IA < IC+CA$ وأضف $IB$ إلى كلا الطرفين.
لإثبات (3): طبق المتباينة المثلثية على المثلث $BMI$ ثم أضف $MA$ إلى كلا الطرفين.
للاستنتاج الأخير (4): اجمع المتراجحتين اللتين أثبتتهما في (ب) و (3).
1.أ) بما أن $I \in [BC]$, فإن $IC+IB=BC$. في المثلث $AIC$, حسب المتباينة المثلثية، $IA < IC+CA$.
1.ب) $IA < IC+CA \implies IA+IB < IC+IB+CA \implies IA+IB < BC+CA$.
2. في المثلث $BMI$, لدينا $MB < MI+IB$. بإضافة $MA$ للطرفين: $MA+MB < MA+MI+IB$. وبما أن $MA+MI=IA$, فإن $MA+MB < IA+IB$.
3. لدينا $MA+MB < IA+IB$ و $IA+IB < CA+CB$. إذن، نستنتج أن $MA+MB < CA+CB$.
1) أنشئ مثلثًا كيفيًا $ABC$, واختر نقطة $R$ على القطعة $[BC]$.
2) نرمز بـ $p$ لمحيط المثلث $ABC$. أثبت أن $AR < \frac{p}{2}$.
القطعة $[AR]$ تقسم المثلث $ABC$ إلى مثلثين صغيرين. طبق المتباينة المثلثية على كل منهما.
في المثلث $ABR$, لدينا $AR < AB + BR$.
في المثلث $ACR$, لدينا $AR < AC + CR$.
بجمع المتراجحتين: $2AR < AB + BR + AC + CR$.
بما أن $R \in [BC]$, فإن $BR+CR = BC$.
إذن، $2AR < AB + AC + BC$.
وبما أن $p = AB+BC+AC$, فإن $2AR < p$, وبالتالي $AR < \frac{p}{2}$.
ليكن $A$ و $B$ نقطتين مختلفتين من المستوي.
ما هو المحل الهندسي للنقاط التي لها نفس البعد عن نقطة ثابتة؟ وما هو المحل الهندسي للنقاط المتساوية البعد عن نقطتين؟
1. $E_1$: مجموعة النقاط التي تبعد مسافة ثابتة ($AB$) عن نقطة ثابتة ($A$). هذا تعريف دائرة.
2. $E_2$: مجموعة النقاط المتساوية البعد عن نقطتين ($A$ و $B$). هذا تعريف الموسط العمودي.
3. $E_3$: هي تقاطع منطقتين: المنطقة داخل الدائرة $E_1$ والنصف المستوي الذي يحدده $E_2$ ويحتوي على النقطة $A$.
1. $E_1$ هي الدائرة التي مركزها $A$ ونصف قطرها $AB$.
2. $E_2$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$.
3. $E_3$ هي المنطقة المكونة من تقاطع الجزء الداخلي للدائرة التي مركزها $A$ ونصف قطرها $AB$، مع نصف المستوي الذي يحدده الموسط العمودي لـ $[AB]$ ويحتوي على النقطة $A$.
1) عين ثلاث نقاط $A, B, C$ بحيث: $AB=5cm, AC=8cm$ و $BC=3cm$. ماذا يمكنك أن تقول عن هذه النقاط؟
2) لون الجزء من المستوي حيث تكون النقاط في نفس الوقت أقرب إلى $C$ من $A$ وأبعد من $B$ عن $C$.
للجزء الأول، تحقق من حالة التساوي في المتباينة المثلثية. للجزء الثاني، كل شرط يحدد نصف مستوٍ. ما هي المستقيمات التي تحدد هذه الأنصاف؟
1. قارن أطول مسافة ($AC=8$) بمجموع المسافتين الأخريين ($AB+BC=5+3$).
2. ترجم الشروط: "أقرب إلى $C$ من $A$" يعني $MC < MA$. "أبعد من $B$ عن $C$" يعني $MB > MC$. كل شرط يحدد نصف مستوٍ يفصله الموسط العمودي. قم بتلوين تقاطع المنطقتين.
1. بما أن $AB+BC = 5+3=8 = AC$, فإن النقاط $A, B, C$ على استقامة واحدة والترتيب هو $A, B, C$.
2. المنطقة المطلوبة هي تقاطع نصف المستوي المحدد بالموسط العمودي لـ $[AC]$ والذي يحتوي على $C$, مع نصف المستوي المحدد بالموسط العمودي لـ $[BC]$ والذي لا يحتوي على $C$.
ليكن $A$ و $B$ نقطتين بحيث: $AB=4cm$.
كل شرط من الشروط يحدد إما مستقيمًا (الموسط العمودي) أو منطقة (نصف مستوٍ). المنطقة النهائية هي تقاطع كل هذه المناطق.
1. $AM=BM$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$.
2. $AM 3. استخدم الفرجار لإنشاء النقطة $C$. 4. $BM 5. المنطقة المخططة هي تقاطع المنطقتين الملونتين بالأزرق والأحمر.
1. المجموعة هي الموسط العمودي لـ $[AB]$.
2. المنطقة الملونة بالأزرق هي نصف المستوي الذي يحتوي على $A$ ويفصله الموسط العمودي لـ $[AB]$.
3. يتم إنشاء النقطة $C$ بتقاطع دائرتين.
4. المنطقة الملونة بالأحمر هي نصف المستوي الذي يحتوي على $B$ ويفصله الموسط العمودي لـ $[BC]$.
5. المنطقة المخططة هي تقاطع المنطقتين السابقتين.