دليل المساعدة: المسافات، الدوائر، والمستقيمات

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة
فوزي الغربي

النظريات والقواعد والصيغ

أمثلة للمتابعة

نصائح للاستخدام

سلسلة تمارين: المسافات

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
المسافة بين المستقيمات المتوازية
تمرين 8

1) لدينا مستقيم $(D)$ ونقطة $B$ تبعد عنه مسافة $1cm$.

2) أنشئ المستقيمين $(D_1)$ و $(D_2)$ الموازيين لـ $(D)$ واللذين يبعدان مسافة $2cm$ عن النقطة $B$.

3) ما هي المسافة بين المستقيمين $(D_1)$ و $(D_2)$؟

4) ما هي المسافة من $(D)$ إلى كل من المستقيمين $(D_1)$ و $(D_2)$؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ارسم شكلاً توضيحيًا. المستقيمان $(D_1)$ و $(D_2)$ يقعان على جانبي النقطة $B$. استخدم جمع وطرح المسافات العمودية.

📝 الطريقة

3. المسافة بين $(D_1)$ و $(D_2)$ هي مجموع بعدهما عن النقطة $B$, لأنهما على جانبيها.

4. المسافة بين $(D)$ و $(D_1)$ هي مجموع المسافة من $D$ إلى $B$ ومن $B$ إلى $D_1$. المسافة بين $(D)$ و $(D_2)$ هي الفرق بين المسافة من $B$ إلى $D_2$ ومن $B$ إلى $D$.

✅ الحل الكامل

3. المسافة بين $(D_1)$ و $(D_2)$ هي $2cm + 2cm = \textbf{4cm}$.

4. إذا كانت $B$ بين $(D)$ و $(D_1)$, فإن المسافة بين $(D)$ و $(D_1)$ هي $1cm + 2cm = \textbf{3cm}$. المسافة بين $(D)$ و $(D_2)$ هي $2cm - 1cm = \textbf{1cm}$.

الوضعية النسبية للدوائر
تمرين 9

$C_1$ دائرة مركزها $O_1$ وشعاعها $R_1$; $C_2$ دائرة مركزها $O_2$ وشعاعها $R_2$. أكمل الجدول التالي.

$$ \begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline R_{1}&9&8.2&6.4&10&5 \\ \hline R_{2}&14&7.5&4.9&23&18 \\ \hline O_{1}O_{2}&12&15.7&15.6&13&24 \\ \hline R_{1}+R_{2}& & & & & \\ \hline|R_{1}-R_{2}|& & & & & \\ \hline\text{الوضعية النسبية}& & & & & \\ \hline\end{array} $$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لكل عمود، احسب $R_1+R_2$ و $|R_1-R_2|$. ثم قارن المسافة بين المركزين $O_1O_2$ بهاتين القيمتين لتحديد الوضعية (متقاطعتان، متماستان، منفصلتان...).

📝 الطريقة

القاعدة:
- إذا كان $O_1O_2 > R_1+R_2$: منفصلتان خارجيًا.
- إذا كان $O_1O_2 = R_1+R_2$: متماستان خارجيًا.
- إذا كان $|R_1-R_2| < O_1O_2 < R_1+R_2$: متقاطعتان.
- إذا كان $O_1O_2 = |R_1-R_2|$: متماستان داخليًا.
- إذا كان $O_1O_2 < |R_1-R_2|$: منفصلتان داخليًا.

✅ الحل الكامل

$$ \begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline R_{1}&9&8.2&6.4&10&5 \\ \hline R_{2}&14&7.5&4.9&23&18 \\ \hline O_{1}O_{2}&12&15.7&15.6&13&24 \\ \hline R_{1}+R_{2}&23&15.7&11.3&33&23 \\ \hline|R_{1}-R_{2}|&5&0.7&1.5&13&13 \\ \hline\text{الوضعية النسبية}&\text{متقاطعتان}&\text{متماستان خارجيًا}&\text{منفصلتان خارجيًا}&\text{متماستان داخليًا}&\text{منفصلتان داخليًا} \\ \hline\end{array} $$
تطبيق على وضعية الدوائر
تمرين 10

1) على قطعة مستقيم $[AB]$ طولها $7cm$, عين النقاط $I, C, O$ بحيث: $AI=1cm, AC=2cm$ و $BO=3cm$.

2) ارسم الدوائر: $C_1(A, AC)$, $C_2(B, BO)$, $C_3(I, IO)$.

3) حدد الوضعيات النسبية للدوائر: $C_1$ و $C_2$ ; $C_1$ و $C_3$ ; $C_2$ و $C_3$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أولاً، حدد أنصاف أقطار كل دائرة والمسافات بين مراكزها. ثم طبق نفس قواعد المقارنة من التمرين السابق.

📝 الطريقة

المعطيات: $R_1=AC=2$, $R_2=BO=3$. $O$ تبعد 3cm عن $B$, إذن $AO = 7-3 = 4$. $I$ تبعد 1cm عن $A$, إذن $IO = AO-AI = 4-1 = 3$. ومنه $R_3=IO=3$.
$C_1$ و $C_2$: $R_1+R_2=5$. المسافة بين المركزين $AB=7$. قارن $7$ بـ $5$.
$C_1$ و $C_3$: $R_1+R_3=5$. المسافة بين المركزين $AI=1$. قارن $1$ بـ $5$ و $|2-3|=1$.
$C_2$ و $C_3$: $R_2+R_3=6$. المسافة بين المركزين $BI = AB-AI = 7-1 = 6$. قارن $6$ بـ $6$.

✅ الحل الكامل

$C_1$ و $C_2$: $AB=7 > R_1+R_2=5$. الدائرتان منفصلتان خارجيًا.

$C_1$ و $C_3$: $AI=1 = |R_1-R_3|=|2-3|=1$. الدائرتان متماستان داخليًا.

$C_2$ و $C_3$: $BI=6 = R_2+R_3=3+3=6$. الدائرتان متماستان خارجيًا.

منصف الزاوية
تمرين 11

لتكن دائرة $C(M, 2cm)$. $A$ و $B$ نقطتان من $C$ ليستا متقابلتين قطريًا. المستقيم $(d_1)$ مماس للدائرة $C$ في $A$ والمستقيم $(d_2)$ مماس للدائرة $C$ في $B$. يتقاطع المستقيمان $(d_1)$ و $(d_2)$ في $C$. أثبت أن النقطة $M$ تنتمي إلى منصف الزاوية $\angle ACB$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هي خاصية منصف الزاوية المتعلقة بالبعد عن ضلعي الزاوية؟ وما هي علاقة المماس بالدائرة؟

📝 الطريقة

  1. بما أن $(d_1)$ مماس للدائرة في $A$, فإن المسافة من المركز $M$ إلى $(d_1)$ تساوي نصف القطر. أي $d(M, d_1) = MA = 2cm$.
  2. بالمثل, بما أن $(d_2)$ مماس في $B$, فإن $d(M, d_2) = MB = 2cm$.
  3. إذًا, $d(M, d_1) = d(M, d_2)$.
  4. النقطة $M$ متساوية البعد عن ضلعي الزاوية $\angle ACB$. استنتج أنها تنتمي لمنصف هذه الزاوية.

✅ الحل الكامل

بما أن $(d_1)$ و $(d_2)$ مماسان للدائرة $C$ في $A$ و $B$ على التوالي، فإن المسافة من المركز $M$ إلى كل من هذين المستقيمين تساوي نصف القطر. أي أن بعد $M$ عن $(d_1)$ هو $MA=2cm$, وبعده عن $(d_2)$ هو $MB=2cm$.
بما أن النقطة $M$ متساوية البعد عن ضلعي الزاوية $\angle ACB$, فإنها تنتمي إلى منصف الزاوية $\angle ACB$.

وضعية دوائر متتالية
تمرين 12

لدينا ثلاث دوائر: $C_1(I, r_1=0.2)$, $C_2(J, r_2=0.3)$ و $C_3(K, r_3=0.5)$. النقاط $I, J, K$ على استقامة واحدة بهذا الترتيب بحيث $IJ=JK=0.1$. ما هي الوضعية النسبية للدوائر: 1) $C_1$ و $C_2$؟ 2) $C_2$ و $C_3$؟ 3) $C_1$ و $C_3$؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لكل زوج من الدوائر، قارن المسافة بين مركزيهما بـ $R_1+R_2$ و $|R_1-R_2|$. انتبه لحساب المسافة $IK$.

📝 الطريقة

  • $C_1$ و $C_2$: $IJ=0.1$. $r_1+r_2=0.5$, $|r_1-r_2|=0.1$. قارن $IJ$ بهاتين القيمتين.
  • $C_2$ و $C_3$: $JK=0.1$. $r_2+r_3=0.8$, $|r_2-r_3|=0.2$. قارن $JK$ بهاتين القيمتين.
  • $C_1$ و $C_3$: $IK=IJ+JK=0.2$. $r_1+r_3=0.7$, $|r_1-r_3|=0.3$. قارن $IK$ بهاتين القيمتين.

✅ الحل الكامل

1) $C_1$ و $C_2$: بما أن $IJ = 0.1 = |r_1-r_2|$, فإنهما متماستان داخليًا.

2) $C_2$ و $C_3$: بما أن $|r_2-r_3| = 0.2 > JK = 0.1$, فإنهما منفصلتان داخليًا (إحداهما داخل الأخرى).

3) $C_1$ و $C_3$: بما أن $|r_1-r_3| = 0.3 > IK = 0.2$, فإنهما منفصلتان داخليًا (إحداهما داخل الأخرى).