تمرين هندسة - العدد 4

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
تعريف الموسط العمودي
تمرين 1

ارسم قطعة مستقيم $[EF]$ حيث $EF=8 cm$ وعين النقطة $O$ منتصفها.

ابن المستقيم $\Delta$ المار من $O$ والعمودي على $(EF)$. ماذا يمثل المستقيم $\Delta$ بالنسبة إلى القطعة $[EF]$؟ علل جوابك.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هو تعريف الموسط العمودي لقطعة مستقيمة؟ تحقق من أن المستقيم $\Delta$ يحقق شرطي التعريف.

📝 الطريقة

  1. الشرط الأول: هل يمر $\Delta$ بمنتصف $[EF]$؟ نعم، حسب المعطيات يمر بالنقطة $O$.
  2. الشرط الثاني: هل $\Delta$ عمودي على $(EF)$؟ نعم، حسب المعطيات.
  3. بما أن الشرطين محققان، فالمستقيم $\Delta$ هو الموسط العمودي.

✅ الحل الكامل

المستقيم $\Delta$ هو الموسط العمودي للقطعة $[EF]$.
التعليل: بحكم التعريف، الموسط العمودي لقطعة هو المستقيم العمودي على هذه القطعة في منتصفها. بما أن المستقيم $\Delta$ عمودي على $(EF)$ ويمر بمنتصفها $O$، فهو بالتالي الموسط العمودي لها.

التوازي والتعامد
تمرين 2

ابن المستقيم $\Delta'$ المار من $E$ والعمودي على $(EF)$. ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين $\Delta$ و $\Delta'$؟ علل جوابك.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هي الخاصية الهندسية التي تربط بين مستقيمين عموديين على نفس المستقيم الثالث؟

📝 الطريقة

  1. لدينا $\Delta \perp (EF)$ (من السؤال 1).
  2. لدينا $\Delta' \perp (EF)$ (حسب الإنشاء).
  3. استنتج العلاقة بين $\Delta$ و $\Delta'$ بناءً على هذه المعطيات.

✅ الحل الكامل

المستقيمان $\Delta$ و $\Delta'$ متوازيان.
التعليل: كلا المستقيمين عموديان على نفس المستقيم $(EF)$. وفقًا للقاعدة الهندسية، إذا كان مستقيمان عموديان على نفس المستقيم الثالث، فإنهما متوازيان.

خاصية الموسط العمودي
تمرين 3

عين النقطة $G$ على $\Delta'$ حيث $EG=5cm$. المستقيمان $(FG)$ و $\Delta$ يتقاطعان في النقطة $I$. أثبت أن $IE=IF$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

النقطة $I$ تنتمي إلى المستقيم $\Delta$. ما هي الخاصية الأساسية لنقاط الموسط العمودي لقطعة؟

📝 الطريقة

  1. حدد طبيعة المستقيم $\Delta$ بالنسبة للقطعة $[EF]$ (من السؤال 1).
  2. حدد موقع النقطة $I$ (تنتمي إلى $\Delta$).
  3. طبق خاصية الموسط العمودي على النقطة $I$.

✅ الحل الكامل

من السؤال 1، نعلم أن $\Delta$ هو الموسط العمودي للقطعة $[EF]$. بما أن النقطة $I$ تنتمي إلى المستقيم $\Delta$، فإنها تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة $[EF]$. إذن، $IE = IF$.

المسافة ونقطة خاصة
تمرين 4

ما هو بعد النقطة $I$ عن المستقيم $\Delta'$؟ علل جوابك. ثم ابن نقطة $H$ من $(FG)$ تكون متساوية البعد عن $O$ و $E$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لحساب بعد $I$ عن $\Delta'$, استخدم نظرية طاليس في المثلث $FEG$. لإيجاد النقطة $H$، تذكر أن مجموعة النقاط المتساوية البعد عن نقطتين هي الموسط العمودي للقطعة التي تصل بينهما.

📝 الطريقة

بعد $I$ عن $\Delta'$: في المثلث $FEG$, لدينا $O$ منتصف $[EF]$ و $(OI) \parallel (EG)$ (لأنهما عموديان على $(EF)$). حسب نظرية طاليس (أو خط الوسط)، فإن $I$ هي منتصف $[FG]$ و $OI = \frac{1}{2}EG = \frac{5}{2} = 2.5cm$. المسافة بين $I$ و $\Delta'$ هي طول المسقط العمودي، وهو $OI$.

إيجاد $H$: النقطة $H$ يجب أن تنتمي إلى $(FG)$ وفي نفس الوقت تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة $[OE]$. إذن $H$ هي نقطة تقاطع هذين المستقيمين.

✅ الحل الكامل

بعد النقطة $I$ عن المستقيم $\Delta'$ هو **2.5cm**. التعليل: في المثلث $FEG$, بما أن $O$ منتصف $[EF]$ و $(OI) \parallel (EG)$, فإن $I$ منتصف $[FG]$ و $OI = \frac{1}{2}EG = 2.5cm$. المسافة من $I$ إلى $\Delta'$ هي $OI$.

إنشاء $H$: نرسم الموسط العمودي للقطعة $[OE]$. نقطة تقاطع هذا الموسط العمودي مع المستقيم $(FG)$ هي النقطة $H$ المطلوبة.

التوازي والتعامد (3)
تمرين 5

ابن المستقيم $D$ المار من $G$ والموازي للمستقيم $(EF)$. ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين $D$ و $\Delta$؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم نفس الخاصية الهندسية التي استخدمتها في التمارين السابقة حول التوازي والتعامد.

📝 الطريقة

  1. لدينا $D \parallel (EF)$ (حسب الإنشاء).
  2. لدينا $\Delta \perp (EF)$ (من السؤال 1).
  3. استنتج العلاقة بين $D$ و $\Delta$.

✅ الحل الكامل

المستقيمان $D$ و $\Delta$ متعامدان.
التعليل: بما أن $D \parallel (EF)$ و $\Delta \perp (EF)$, فإن كل مستقيم عمودي على أحدهما يكون عمودياً على الآخر. إذن $\Delta \perp D$.

وضعية دائرة ومستقيم
تمرين 6

ابن الدائرة $C$ التي مركزها $G$ وشعاعها 4cm. ما هي الوضعية النسبية للدائرة $C$ والمستقيم $\Delta$؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لتحديد وضعية دائرة ومستقيم، قارن بين المسافة من مركز الدائرة إلى المستقيم ونصف قطر الدائرة.

📝 الطريقة

  1. مركز الدائرة هو $G$ وشعاعها $r=4cm$.
  2. يجب حساب المسافة بين النقطة $G$ والمستقيم $\Delta$. لنسميها $d(G, \Delta)$.
  3. بما أن $\Delta \parallel \Delta'$ والمسافة بينهما هي $EO=4cm$, والمسافة بين $G$ و $\Delta'$ هي 0, فإن المسافة بين $G$ و $\Delta$ هي 4cm.
  4. قارن بين المسافة $d(G, \Delta)$ والشعاع $r$.

✅ الحل الكامل

الدائرة $C$ والمستقيم $\Delta$ متماسان.
التعليل: المسافة من مركز الدائرة $G$ إلى المستقيم $\Delta$ هي المسافة بين المستقيمين المتوازيين $\Delta$ و $\Delta'$، وهي تساوي $EO = 4cm$. نصف قطر الدائرة هو $r=4cm$. بما أن المسافة من المركز إلى المستقيم تساوي نصف القطر ($4cm = 4cm$)، فإن المستقيم $\Delta$ مماس للدائرة $C$.

وضعية دائرة ومستقيم (2)
تمرين 7

ما هي الوضعية النسبية للدائرة $C$ (مركزها $G$ وشعاعها 4cm) والمستقيم $(EF)$؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

مرة أخرى، قارن بين المسافة من مركز الدائرة $G$ إلى المستقيم $(EF)$ ونصف قطر الدائرة.

📝 الطريقة

  1. مركز الدائرة هو $G$ وشعاعها $r=4cm$.
  2. المسافة من $G$ إلى $(EF)$ هي طول المسقط العمودي. بما أن $\Delta' = (EG)$ وهو عمودي على $(EF)$, فإن المسافة هي طول القطعة $[EG]$.
  3. لدينا $EG = 5cm$.
  4. قارن بين المسافة (5cm) والشعاع (4cm).

✅ الحل الكامل

الدائرة $C$ والمستقيم $(EF)$ منفصلان (لا يتقاطعان).
التعليل: المسافة من مركز الدائرة $G$ إلى المستقيم $(EF)$ هي $EG = 5cm$. نصف قطر الدائرة هو $r=4cm$. بما أن المسافة من المركز إلى المستقيم أكبر من نصف القطر ($5cm > 4cm$)، فإن الدائرة والمستقيم لا يتقاطعان.