التمرين رقم 20

الوسائط العمودية والتوازي

السياق العام: نفترض وجود رباعي ABCD مع المستقيم Δ كوسيط عمودي للقطعة [CD]

السؤال ج)

لتكن M منتصف [AB] و N نقطة من المستوى حيث يكون (MN) عموديا على (CD). بيّن أن N تنتمي إلى المستقيم Δ.

🔍 التصحيح المفصل للسؤال ج)

معطيات:

  • Δ هو الوسيط العمودي للقطعة [CD]
  • M منتصف [AB]
  • N نقطة من المستوى حيث (MN) ⊥ (CD)

خصائص الوسيط العمودي:

  • Δ عمودي على (CD)
  • Δ يمر بمنتصف [CD]
  • Δ هو مجموعة النقاط المتساوية البعد عن C و D

البرهان:

  1. Δ ⊥ (CD) (خاصية الوسيط العمودي)
  2. (MN) ⊥ (CD) (معطى)
  3. إذا كان مستقيمان عموديان على نفس المستقيم، فإنهما متوازيان أو متطابقان
  4. إذن (MN) ∥ Δ أو (MN) = Δ

شرط إضافي مطلوب: لكي تنتمي N إلى Δ، يجب أن تكون M أيضاً على Δ، أو أن يكون هناك شرط خاص يربط المستقيم (MN) بـ Δ.

حالة خاصة: إذا كان ABCD شبه منحرف متساوي الساقين و M منتصف [AB]، فإن M تقع على Δ (محور التناظر)، وبالتالي N ∈ Δ.

السؤال د)

برهن على أن Δ يوازي كلاً من المستقيمين (AD) و (BC).

🔍 التصحيح المفصل للسؤال د)

تحليل الحالات الممكنة:

الحالة 1: ABCD شبه منحرف قائم

  • إذا كان (AD) ⊥ (CD) و (BC) ⊥ (CD)
  • وبما أن Δ ⊥ (CD) (وسيط عمودي)
  • إذن Δ ∥ (AD) و Δ ∥ (BC)

الحالة 2: ABCD مستطيل

  • جميع الزوايا قائمة
  • (AD) ⊥ (CD) و (BC) ⊥ (CD)
  • الوسيط العمودي Δ لـ [CD] يوازي (AD) و (BC)

ملاحظة مهمة: هذا البرهان يعتمد على طبيعة الرباعي ABCD. في الحالة العامة، لا يمكن ضمان هذا التوازي بدون شروط إضافية.

البرهان (في حالة الرباعي القائم):

  1. إذا كان ABCD رباعي بزوايا قائمة في D و C
  2. فإن (AD) ⊥ (DC) و (BC) ⊥ (DC)
  3. وبما أن Δ ⊥ (DC) (وسيط عمودي)
  4. إذن Δ ∥ (AD) و Δ ∥ (BC)

السؤال هـ)

حدّد بعد النقطة N عن كل من المستقيمين (AD) و (BC).

🔍 التصحيح المفصل للسؤال هـ)

في حالة التوازي Δ ∥ (AD) ∥ (BC):

  • إذا كانت المستقيمات متوازية، فإن المسافة بين أي نقطة على أحدها والمستقيم الموازي ثابتة
  • بما أن N ∈ Δ، فإن بعد N عن (AD) = بعد Δ عن (AD)
  • وبعد N عن (BC) = بعد Δ عن (BC)

حساب المسافات (في حالة المستطيل):

  • إذا كان ABCD مستطيل بعرض h
  • فإن بعد N عن (AD) = بعد N عن (BC) = h/2
  • لأن الوسيط العمودي يقع في منتصف المسافة بين الضلعين المتوازيين

صيغة عامة:

  • إذا كان d(AD, BC) = h (المسافة بين المستقيمين المتوازيين)
  • فإن بعد N عن (AD) + بعد N عن (BC) = h
  • وإذا كان Δ في المنتصف، فإن كل مسافة = h/2

ملاحظة: القيم العددية الدقيقة تعتمد على أبعاد الرباعي المحددة في بداية التمرين.

السؤال و)

لتكن P نقطة تقاطع Δ و (CD). بيّن أن Δ هو الوسيط العمودي للضلع [CD].

🔍 التصحيح المفصل للسؤال و)

تعريف الوسيط العمودي:

الوسيط العمودي لقطعة مستقيم هو المستقيم الذي:

  • يمر بمنتصف القطعة
  • عمودي على هذه القطعة

البرهان:

بما أن Δ تم تعريفه في بداية التمرين كوسيط عمودي لـ [CD]، فإن:

  1. P هي نقطة تقاطع Δ مع (CD)
  2. بحكم التعريف، P هي منتصف [CD]
  3. إذن PC = PD
  4. و Δ ⊥ (CD) في النقطة P

خصائص إضافية:

  • أي نقطة على Δ متساوية البعد عن C و D
  • Δ هو محور التناظر للقطعة [CD]
  • إذا انعكست النقطة C حول Δ، فستحصل على النقطة D

تحقق من الشروط:

  1. يمر بالمنتصف: ✓ (P منتصف [CD])
  2. عمودي على القطعة: ✓ (Δ ⊥ (CD))
  3. إذن Δ هو الوسيط العمودي لـ [CD] ✓