التمرين رقم 23

المعطيات: تعتبر نقطة A تنتمي إلى دائرة (C) مركزها O وشعاعها 3 cm.

السؤال أ)

ارسم المثلث Δ المتوسط العمودي للشعاع [OA] حيث يقطع (C) في النقطتين B و C، بين أن AB = 3.

🔍 التصحيح المفصل للسؤال أ)

الخطوة 1: رسم المتوسط العمودي للقطعة [OA]

المتوسط العمودي لقطعة هو المستقيم العمودي على هذه القطعة والمار بمنتصفها
نسمي منتصف [OA] بالنقطة M
المتوسط العمودي Δ عمودي على [OA] في النقطة M

الخطوة 2: تحديد نقطتي التقاطع B و C

المستقيم Δ يقطع الدائرة (C) في نقطتين B و C
هاتان النقطتان متناظرتان بالنسبة للقطر [OA]

الخطوة 3: إثبات أن AB = 3

بما أن B تنتمي للمتوسط العمودي للقطعة [OA]، فإن BA = BO
وبما أن B تنتمي للدائرة (C)، فإن BO = 3 cm (شعاع الدائرة)
إذن AB = BO = 3 cm

السؤال ب)

بين أن المستقيم (OA) هو المتوسط العمودي للقطعة [BC].

🔍 التصحيح المفصل للسؤال ب)

لإثبات أن (OA) هو المتوسط العمودي للقطعة [BC]، يجب إثبات شرطين:

الشرط الأول: (OA) عمودي على (BC)

المستقيم Δ (المتوسط العمودي لـ [OA]) عمودي على (OA)
النقطتان B و C تنتميان للمستقيم Δ
إذن المستقيم (BC) هو جزء من Δ
بالتالي (OA) ⊥ (BC)

الشرط الثاني: (OA) يمر بمنتصف [BC]

بسبب التناظر حول المستقيم (OA)، النقطتان B و C متناظرتان
OB = OC = 3 cm (شعاع الدائرة)
المثلث OBC متساوي الساقين، والمستقيم (OA) هو محور التناظر
إذن (OA) يمر بمنتصف [BC]

الخلاصة: (OA) عمودي على [BC] ويمر بمنتصفها، إذن هو المتوسط العمودي للقطعة [BC].

السؤال ج)

ارسم المستقيم Δ' المماس للدائرة (C) في النقطة A. بين أن: Δ // Δ'

🔍 التصحيح المفصل للسؤال ج)

الخطوة 1: رسم المماس Δ'

المماس للدائرة في نقطة هو المستقيم العمودي على الشعاع المار بهذه النقطة
المستقيم Δ' مماس للدائرة (C) في النقطة A
إذن Δ' عمودي على الشعاع (OA)

الخطوة 2: إثبات التوازي Δ // Δ'

من السؤال أ): المستقيم Δ عمودي على (OA)
من تعريف المماس: المستقيم Δ' عمودي على (OA)
بما أن كلا من Δ و Δ' عموديان على نفس المستقيم (OA)
القاعدة: مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث فهما متوازيان

الخلاصة: Δ ⊥ (OA) و Δ' ⊥ (OA) إذن Δ // Δ'

ملاحظة هندسية: المستقيم Δ يمر بمنتصف الشعاع [OA]، بينما Δ' يمر بطرف الشعاع (النقطة A)، وهما متوازيان.