التمرين رقم 24

المستقيمات العمودية والتوازي

الهدف: دراسة العلاقات بين المستقيمات العمودية والمتوازية

السؤال 1)

ارسم مستقيماً D ونقطة A خارجه، أنشئ المستقيم Δ المار من A والعمودي على D

🎯 التصحيح المفصل للسؤال 1)

تصحيح في الرمز: استخدم Δ بدلاً من A لتجنب الخلط مع النقطة A

خطوات الإنشاء:

  1. ارسم المستقيم D (يُفضل أفقياً لسهولة العمل)
  2. حدد نقطة A خارج المستقيم D
  3. استخدم الكوس أو المنقلة لرسم عمودي من A على D
  4. ليكن H قدم العمودي على D
  5. امتد الخط عبر A في كلا الاتجاهين
  6. سمّ هذا المستقيم Δ

خصائص هذا الإنشاء:

  • Δ ⊥ D في النقطة H
  • المسافة من A إلى D تساوي AH
  • H هي أقرب نقطة على D من النقطة A

السؤال 2)

عين نقطة B على D، ثم النقطة C بحيث تكون B منتصف [AC]

🎯 التصحيح المفصل للسؤال 2)

خطوات الإنشاء:

  1. حدد نقطة B على المستقيم D (يُفضل أن تكون قريبة من H)
  2. ارسم القطعة [AB]
  3. امتد من B في الاتجاه المعاكس لـ A
  4. قس مسافة AB من النقطة B
  5. حدد النقطة C بحيث AB = BC
  6. تحقق: B هي منتصف [AC]

النتيجة الهندسية:

  • AB = BC
  • AC = 2 × AB
  • النقط A، B، C على استقامة واحدة

ملاحظة مهمة: النقطة C تقع على الجانب المقابل لـ A بالنسبة للمستقيم D

السؤال 3)

ارسم المستقيم Δ' المار من C والعمودي على D

🎯 التصحيح المفصل للسؤال 3)

إنشاء المستقيم Δ':

  1. من النقطة C، ارسم عموديًا على المستقيم D
  2. استخدم الكوس أو المنقلة لضمان التعامد
  3. ليكن K قدم العمودي من C على D
  4. امتد الخط عبر C في كلا الاتجاهين
  5. سمّ هذا المستقيم Δ'

خصائص المستقيم Δ':

  • Δ' ⊥ D في النقطة K
  • المسافة من C إلى D تساوي CK
  • بما أن B منتصف [AC]، فإن CK = AH

السؤال 4)

أوجد القيمة التقريبية لبعد C عن A

🎯 التصحيح المفصل للسؤال 4)

حساب المسافة AC:

ليكن d = AH (المسافة من A إلى D)

  1. في المثلث القائم ABH: AB² = AH² + BH²
  2. إذا افترضنا أن BH = d (حالة خاصة)
  3. فإن AB = d√2
  4. وبالتالي AC = 2 × AB = 2d√2

في الحالة العامة:

إذا كان BH = x، فإن:

  • AB = √(d² + x²)
  • AC = 2√(d² + x²)

الخلاصة: المسافة AC تعتمد على موضع النقطة B على المستقيم D

قيمة تقريبية: إذا كانت d = 3cm و BH = 3cm، فإن AC ≈ 8.5cm

السؤال 5)

بين أن Δ ∥ Δ'

🎯 التصحيح المفصل للسؤال 5)

البرهان على التوازي:

  1. Δ ⊥ D (من السؤال 1)
  2. Δ' ⊥ D (من السؤال 3)
  3. نظرية: إذا كان مستقيمان عموديان على نفس المستقيم فإنهما متوازيان
  4. إذن Δ ∥ Δ'

خصائص إضافية:

  • المسافة بين Δ و Δ' تساوي المسافة بين H و K
  • هذه المسافة تساوي BH + BK
  • Δ و Δ' لا يتقاطعان أبداً (تعريف التوازي)

تطبيق عملي:

هذه النتيجة تُستخدم في الهندسة المعمارية لضمان توازي الجدران العمودية على الأرض

السؤال 6)

عين النقطة E بحيث تكون A منتصف [BE]. أوجد القيمة التقريبية لبعد E عن D

🎯 التصحيح المفصل للسؤال 6)

إنشاء النقطة E:

  1. امتد من A في الاتجاه المعاكس لـ B
  2. قس مسافة AB من النقطة A
  3. حدد النقطة E بحيث AE = AB
  4. تحقق: A هي منتصف [BE]

حساب بعد E عن D:

ليكن d = AH (المسافة من A إلى D)

  1. النقطة E تقع على المستقيم Δ
  2. المسافة من E إلى D = المسافة من E إلى H
  3. EH = EA + AH = AB + d
  4. إذا كان AB = d√2 (حالة خاصة)
  5. فإن EH = d√2 + d = d(√2 + 1) ≈ 2.41d

في الحالة العامة:

بعد E عن D = AB + d

حيث AB تعتمد على موضع النقطة B

ملاحظة مهمة:

النقط E، A، B، C تقع على مستقيم واحد (المستقيم Δ)

وترتيبها: E، A، B، C