التمرين رقم 26

المعطيات: نعتبر قطعة مستقيم [AB].

السؤال أ)

ارسم الدائرة (C) التي قطرها [AB] وسمّ مركزها O.

🔍 التصحيح المفصل للسؤال أ)

الخطوة 1: تحديد مركز الدائرة

  • إذا كان [AB] قطر الدائرة، فإن مركز الدائرة O هو منتصف القطعة [AB]
  • نسمي O منتصف [AB]
  • OA = OB = نصف قطر الدائرة

الخطوة 2: حساب نصف القطر

  • نصف قطر الدائرة = r = OA = OB = AB/2
  • القطر = AB، إذن نصف القطر = AB/2

الخطوة 3: رسم الدائرة

  • نرسم دائرة مركزها O ونصف قطرها OA
  • النقطتان A و B تقعان على الدائرة
  • القطعة [AB] تمر بمركز الدائرة O

النتيجة: الدائرة (C) مرسومة بمركز O = منتصف [AB] ونصف قطر r = AB/2

السؤال ب)

عيّن على الدائرة (C) نقطة M مختلفة عن A وعن B، وارسم المستقيمين (AM) و (BM). تحقق من أنهما متعامدان.

🔍 التصحيح المفصل للسؤال ب)

الخطوة 1: تحديد النقطة M

  • نختار نقطة M على الدائرة (C)
  • M ≠ A و M ≠ B
  • M تنتمي للدائرة (C) التي مركزها O

الخطوة 2: رسم المستقيمين

  • نرسم المستقيم (AM) الذي يصل بين النقطتين A و M
  • نرسم المستقيم (BM) الذي يصل بين النقطتين B و M
  • نحصل على المثلث AMB

الخطوة 3: التحقق من التعامد

  • نظرية Thales: إذا كان [AB] قطر دائرة و M نقطة على الدائرة، فإن الزاوية ∠AMB = 90°
  • بما أن [AB] قطر الدائرة (C) و M على الدائرة
  • إذن ∠AMB = 90°
  • بالتالي (AM) ⊥ (BM)

النتيجة: المستقيمان (AM) و (BM) متعامدان لأن M تقع على دائرة قطرها [AB].

السؤال ج)

ارسم المستقيم Δ المار من O والعمودي على (AM). برهن على أن Δ هو المتوسط العمودي للقطعة المستقيم [AM].

🔍 التصحيح المفصل للسؤال ج)

الخطوة 1: رسم المستقيم Δ

  • نرسم المستقيم Δ الذي يمر بالنقطة O
  • Δ عمودي على المستقيم (AM)
  • نسمي نقطة تقاطع Δ مع (AM) بالنقطة H

الخطوة 2: إثبات أن Δ هو المتوسط العمودي لـ [AM]

لإثبات ذلك، يجب إثبات شرطين:

الشرط الأول: Δ عمودي على [AM]

  • هذا معطى في السؤال مباشرة
  • Δ ⊥ (AM)

الشرط الثاني: Δ يمر بمنتصف [AM]

  • من السؤال ب): ∠AMB = 90° (زاوية محيطية قطرها [AB])
  • المثلث AMB قائم الزاوية في M
  • في مثلث قائم، الوسيط النازل من رأس الزاوية القائمة إلى الوتر يساوي نصف الوتر
  • بما أن O مركز الدائرة، فإن OA = OB (نصفا قطر)
  • O يقع على المتوسط العمودي لـ [AB]

البرهان التفصيلي:

  • بما أن M على الدائرة (C) مركزها O، فإن OM = OA = OB (نصف قطر)
  • المثلث OAM متساوي الساقين (OA = OM)
  • إذن الارتفاع من O إلى [AM] يمر بمنتصف [AM]
  • المستقيم Δ هو هذا الارتفاع
  • بالتالي Δ يمر بمنتصف [AM]

الخلاصة: المستقيم Δ عمودي على [AM] ويمر بمنتصفها، إذن هو المتوسط العمودي للقطعة [AM].