معطيات مصححة: ارسم مستطيلاً $LKJI$ حيث $LK=4cm$ و $KJ=3cm$. ليكن $\Delta$ الموسط العمودي للضلع $[LI]$.
برهن على أن $\Delta$ يوازي $(KJ)$.
ما هي العلاقة بين الأضلاع المتجاورة في المستطيل؟ وماذا تعرف عن مستقيمين عموديين على نفس المستقيم الثالث؟
لدينا $LKJI$ مستطيل، إذن $(LI) \perp (IJ)$.
ولدينا أيضاً $(KJ) \perp (IJ)$.
بما أن $(LI)$ و $(KJ)$ عموديان على نفس المستقيم $(IJ)$, فإنهما متوازيان: $(LI) \parallel (KJ)$.
لدينا $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $[LI]$, إذن $\Delta \perp (LI)$.
بما أن $\Delta \perp (LI)$ و $(LI) \parallel (KJ)$, فإن $\Delta \perp (KJ)$. السؤال الأصلي كان خاطئاً، العلاقة هي التعامد وليست التوازي.
لتكن $M$ منتصف $[JK]$ و $N$ نقطة من المستوي بحيث يكون $(MN)$ عمودي على $(LK)$. بين أن $N$ نقطة من $\Delta$.
أثبت أن المستقيم $(MN)$ هو نفسه الموسط العمودي لـ $[LI]$. بما أن الموسط العمودي لقطعة هو وحيد، يمكنك استنتاج أن $(MN)$ و $\Delta$ متطابقان.
لدينا $M$ منتصف $[JK]$. وبما أن $(MN) \perp (LK)$, و $(LI) \perp (LK)$, فإن $(MN) \parallel (LI)$.
المستقيم $(MN)$ يمر بمنتصف $[JK]$ ويوازي $[LI]$. إذن هو يقطع $[LK]$ و $[JI]$ في منتصفيهما. لنسمي $P$ منتصف $[LI]$. المستقيم $(MP)$ يوازي $(KJ)$ و $(LI)$. بما أن $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $[LI]$, فهو يمر بمنتصفها $P$ وعمودي عليها. وبما أن $(MN)$ يمر بـ $P$ وعمودي على $(LI)$, فإن $(MN)$ و $\Delta$ هما نفس المستقيم. بما أن $N \in (MN)$, فإن $N \in \Delta$.
برهن على أن $\Delta$ و $(JI)$ متوازيان.
استخدم خاصية التعدي للتوازي. لقد أثبتت أن $\Delta$ يوازي مستقيمًا آخر، وهذا المستقيم الآخر يوازي $(JI)$.
لقد أثبتنا في التمرين 1 أن $\Delta \parallel (LK)$.
وبما أن $LKJI$ مستطيل، فإن $(LK) \parallel (JI)$.
بخاصية التعدي، إذا كان مستقيم يوازي مستقيمًا ثانيًا، وهذا الثاني يوازي ثالثًا، فإن الأول يوازي الثالث. إذن، $\Delta \parallel (JI)$.
حدد بعد النقطة $M$ (منتصف $[JK]$) عن كل من المستقيمين $(LI)$ و $(LK)$.
بعد نقطة عن مستقيم هو طول المسقط العمودي. ارسم المسقط العمودي لـ $M$ على كل مستقيم. ماذا تلاحظ بخصوص هذه المسافات وأبعاد المستطيل؟
بعد $M$ عن $(LI)$:
المسقط العمودي لـ $M$ على $(LI)$ هو نقطة ما. القطعة التي تصل بينهما توازي $[LK]$ وطولها نصف طوله. إذن البعد هو $LK/2$.
بعد $M$ عن $(LK)$:
المسقط العمودي لـ $M$ على $(LK)$ هو نقطة ما. القطعة التي تصل بينهما توازي $[KJ]$ وطولها نصف طوله. إذن البعد هو $KJ/2$.
بعد النقطة $M$ عن المستقيم $(LI)$ يساوي نصف طول الضلع الموازي له، أي $LK/2 = 4/2 = \textbf{2cm}$.
بعد النقطة $M$ عن المستقيم $(LK)$ يساوي نصف طول الضلع الموازي له، أي $KJ/2 = 3/2 = \textbf{1.5cm}$.
لتكن $P$ نقطة تقاطع المستقيمين $\Delta$ و $(LK)$. بين أن $\Delta$ هو الموسط العمودي للقطعة $[JK]$.
هذا التأكيد خاطئ في الحالة العامة. $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $[LI]$. هل يمكن أن يكون أيضاً الموسط العمودي لـ $[JK]$؟ فقط في حالة خاصة جداً (المربع).
الموسط العمودي لـ $[JK]$ هو المستقيم العمودي على $(JK)$ في منتصفها $M$.
لدينا $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $[LI]$.
هل $\Delta$ عمودي على $(JK)$؟ لا، بل يوازيه (لأنهما عموديان على $(IJ)$).
إذن، العبارة خاطئة.
العبارة خاطئة. المستقيم $\Delta$ هو الموسط العمودي للقطعة $[LI]$ وليس للقطعة $[JK]$.
البرهان: الموسط العمودي لـ $[JK]$ يجب أن يكون عمودياً على $(JK)$. لكننا أثبتنا أن $\Delta \parallel (LK)$, وبما أن $(LK) \perp (KJ)$, فإن $\Delta \perp (KJ)$. إذن شرط التعامد محقق. لكن هل يمر $\Delta$ بمنتصف $[JK]$، أي $M$؟ نعم، لقد أثبتنا في التمرين 2 أن المستقيم المار من $M$ وعمودي على $(LK)$ هو $\Delta$.
تصحيح: نعم، العبارة صحيحة. $\Delta$ هو بالفعل الموسط العمودي لـ $[JK]$ أيضاً لأنه محور تناظر للمستطيل.