تمرين هندسة الدائرة

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
الموسط العمودي والقطر
تمرين 1

ارسم دائرة $C$ مركزها $O$ وشعاعها 4cm. وليكن $[AB]$ قطر لهذه الدائرة.

ابن $D$ الموسط العمودي للقطعة $[AB]$. بين أن النقطة $O$ تنتمي إلى $D$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هي العلاقة بين مركز الدائرة وقطرها؟ وأين يمر الموسط العمودي لقطعة مستقيمة دائمًا؟

📝 الطريقة

  1. بما أن $[AB]$ هو قطر الدائرة التي مركزها $O$، فإن $O$ هي منتصف القطعة $[AB]$.
  2. حسب تعريف الموسط العمودي، فإنه المستقيم الذي يمر بمنتصف قطعة ويكون عموديًا عليها.
  3. بما أن $D$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$، فإنه يجب أن يمر بمنتصفها، أي النقطة $O$.

✅ الحل الكامل

لدينا $[AB]$ قطر في الدائرة $C$ التي مركزها $O$. إذن، $O$ هي منتصف القطر $[AB]$.
المستقيم $D$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$. حسب تعريف الموسط العمودي، فإنه يمر بمنتصف القطعة التي ينصفها.
بما أن $O$ هي منتصف $[AB]$، فإن المستقيم $D$ يمر حتمًا بالنقطة $O$.

التعامد المتناظر
تمرين 2

المستقيم $D$ يقطع الدائرة $C$ في النقطتين $F$ و $E$. برهن على أن $(AB)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[EF]$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن $(AB)$ هو الموسط العمودي لـ $[EF]$، يجب إثبات التعامد والمرور بالمنتصف. هل يمكنك إثبات أن المثلث $EOF$ متساوي الساقين؟ ماذا يمثل $(AB)$ في هذا المثلث؟

📝 الطريقة

  1. أثبت أن المثلث $EOF$ متساوي الساقين في $O$ (باستخدام أنصاف الأقطار).
  2. لدينا $D \perp (AB)$، وبما أن $E, F \in D$, فإن $(EF) \perp (AB)$. (شرط التعامد محقق)
  3. في المثلث متساوي الساقين $EOF$، المستقيم $(AB)$ يمر بالرأس الأساسي $O$ وهو عمودي على القاعدة $[EF]$. إذن هو أيضًا منصف للقاعدة.
  4. بما أن $(AB)$ عمودي على $[EF]$ ويمر بمنتصفها، فهو الموسط العمودي لها.

✅ الحل الكامل

بما أن $E$ و $F$ تنتميان للدائرة $C$ التي مركزها $O$، فإن $OE = OF = 4cm$ (شعاعان). هذا يعني أن المثلث $EOF$ متساوي الساقين في $O$.
لدينا $D$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$, إذن $D \perp (AB)$. وبما أن المستقيم $D$ هو نفسه المستقيم $(EF)$، فإن $(EF) \perp (AB)$.
المستقيم $(AB)$ عمودي على القاعدة $[EF]$ للمثلث متساوي الساقين $EOF$ ويمر بالرأس الأساسي $O$. إذن، هو أيضًا منصف لهذه القاعدة ويمر بمنتصفها.
بما أن $(AB)$ عمودي على $[EF]$ ويمر بمنتصفها، فهو الموسط العمودي للقطعة $[EF]$.

التوازي والتعامد
تمرين 3

ابن المستقيم $\Delta$ المار من $A$ و الموازي للمستقيم $D$. بين أن $(AB)$ و $\Delta$ متعامدان.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استخدم خاصية "إذا كان مستقيم عموديًا على أحد مستقيمين متوازيين، فما هي علاقته بالآخر؟"

📝 الطريقة

  1. لدينا $\Delta \parallel D$ (من الإنشاء).
  2. من التمرين الأول، نعلم أن $D \perp (AB)$.
  3. استنتج العلاقة بين $\Delta$ و $(AB)$ باستخدام الخاصية الهندسية المناسبة.

✅ الحل الكامل

لدينا $\Delta \parallel D$ (حسب الإنشاء) و $D \perp (AB)$ (لأن $D$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$).
حسب الخاصية الهندسية: "إذا كان مستقيمان متوازيين، فإن كل مستقيم عمودي على أحدهما يكون عموديًا على الآخر".
إذًا، نستنتج أن $\Delta \perp (AB)$.

حساب الأبعاد
تمرين 4

ابن المستقيم $\Delta'$ المار من $B$ و العمودي على $(AB)$. حدد بعد كل من النقطتين $F$ و $E$ عن المستقيم $\Delta'$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لاحظ أن المستقيمين $\Delta'$ و $D$ متوازيان. المسافة بين نقطة على مستقيم ومستقيم آخر موازٍ له ثابتة. ما هي المسافة بين $O$ و $B$؟

📝 الطريقة

  1. لدينا $\Delta' \perp (AB)$ و $D \perp (AB)$. إذن $\Delta' \parallel D$.
  2. المسافة بين المستقيمين المتوازيين $\Delta'$ و $D$ هي المسافة بين نقطتي تقاطعهما مع المستقيم العمودي عليهما $(AB)$, أي المسافة $OB$.
  3. بما أن $O$ منتصف $[AB]$ وشعاع الدائرة 4cm، فإن $OB=4cm$.
  4. بما أن $E$ و $F$ تنتميان إلى المستقيم $D$، فإن بعدهما عن المستقيم الموازي له $\Delta'$ هو المسافة بين المستقيمين، أي $OB=4cm$.

✅ الحل الكامل

لدينا $\Delta' \perp (AB)$ و $D \perp (AB)$, إذن $\Delta' \parallel D$.
المسافة بين هذين المستقيمين المتوازيين هي المسافة $OB$, حيث $O \in D$ و $B \in \Delta'$.
بما أن $O$ هو مركز الدائرة و $B$ نقطة على محيطها، فإن $OB$ هو شعاع، أي $OB = 4cm$.
بما أن النقطتين $E$ و $F$ تنتميان إلى المستقيم $D$, فإن بعدهما عن المستقيم الموازي $\Delta'$ هو المسافة بين المستقيمين.
إذن، بعد كل من $E$ و $F$ عن $\Delta'$ هو 4cm.

المسافة بين مستقيمين متوازيين
تمرين 5

ما هو البعد بين المستقيمين $D$ و $\Delta$ (المار من $A$ والموازي لـ $D$)?

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المسافة بين مستقيمين متوازيين هي طول العمودي المشترك بينهما. ما هو المستقيم العمودي على كل من $D$ و $\Delta$؟ وما هي نقاط تقاطعه معهما؟

📝 الطريقة

  1. لدينا $D \parallel \Delta$.
  2. لدينا $(AB) \perp D$.
  3. بما أن المستقيمين متوازيان, فإن $(AB)$ عمودي أيضاً على $\Delta$.
  4. إذن، المسافة بين $D$ و $\Delta$ هي طول القطعة المستقيمة على العمودي المشترك $(AB)$ بين نقطتي التقاطع.
  5. نقطة التقاطع مع $D$ هي $O$. نقطة التقاطع مع $\Delta$ هي $A$. المسافة هي $OA$.

✅ الحل الكامل

بما أن $D \parallel \Delta$, فإن المسافة بينهما ثابتة. يمكن حسابها بقياس طول العمودي المشترك بينهما.
نعلم أن $(AB) \perp D$. وبما أن $\Delta \parallel D$, فإن $(AB) \perp \Delta$.
إذن، المستقيم $(AB)$ هو عمودي مشترك على $D$ و $\Delta$.
يقطع $D$ في $O$ ويقطع $\Delta$ في $A$.
إذًا، المسافة بين $D$ و $\Delta$ هي الطول $OA$. بما أن $OA$ هو شعاع الدائرة، فإن المسافة هي 4cm.