تمرين 11: المثلث القائم والموسطات العمودية

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
الموسط العمودي ومنتصف الوتر
تمرين 1

المعطيات: مثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$.

  1. ارسم المثلث وعيّن النقطة $M$ منتصف $[AB]$.
  2. ارسم المستقيم $\Delta$ المار من $M$ والعمودي على $(AB)$. ماذا يمثل المستقيم $\Delta$ بالنسبة إلى $[AB]$؟
  3. لتكن $N$ نقطة تقاطع $\Delta$ و $(BC)$. بيّن أن $NA = NB$.
  4. استنتج أن النقطة $N$ هي منتصف $[BC]$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • ما هو تعريف الموسط العمودي؟ يتكون من شرطين.
  • ما هي الخاصية الأساسية لنقطة تنتمي إلى الموسط العمودي لقطعة؟
  • في المثلث القائم، ما هي الخاصية التي تربط منتصف الوتر برؤوس المثلث؟

📝 الطريقة

لبيان أن $NA = NB$:

بما أن $\Delta$ يمر بمنتصف $[AB]$ وهو عمودي عليه، فإن $\Delta$ هو الموسط العمودي لـ $[AB]$. وبما أن $N \in \Delta$، فإن $N$ متساوية البعد عن طرفي القطعة $[AB]$، أي $NA = NB$.

لاستنتاج أن N منتصف [BC]:

في المثلث القائم $ABC$: لدينا $M$ منتصف $[AB]$ و $(MN) \parallel (AC)$ (لأنهما عموديان على $(AB)$). بتطبيق نظرية المستقيم المار بمنتصف ضلع، فإن $N$ هي بالضرورة منتصف الوتر $[BC]$.

✅ الحل الكامل

  1. الموسط العمودي: المستقيم $\Delta$ يمر بمنتصف $[AB]$ وعمودي عليه، إذن فهو الموسط العمودي للقطعة $[AB]$.
  2. تساوي المسافتين: بما أن $N$ تنتمي للموسط العمودي $\Delta$ للقطعة $[AB]$، فإنها متساوية البعد عن طرفي القطعة، إذن $NA = NB$.
  3. منتصف الوتر: في المثلث $ABC$، لدينا $M$ منتصف $[AB]$ و $(MN) \parallel (AC)$ (لأن $\Delta \perp (AB)$ و $(AC) \perp (AB)$). حسب نظرية المستقيم المار بمنتصف أحد الأضلاع وموازٍ لضلع ثانٍ، فإنه يقطع الضلع الثالث في منتصفه. إذن، $N$ هي منتصف $[BC]$.
خط الوسط في المثلث القائم
تمرين 2

المعطيات: نواصل مع نفس المثلث $ABC$ والنقطة $N$ منتصف $[BC]$.

  1. عيّن النقطة $P$ منتصف $[AC]$.
  2. بيّن أن المستقيم $(NP)$ هو الموسط العمودي لـ $[AC]$. (هل هذا صحيح؟)
  3. بيّن أن $(NP) \parallel (AB)$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • ماذا نسمي المستقيم الذي يصل بين منتصفي ضلعين في مثلث؟
  • ما هي خصائص هذا المستقيم (خط الوسط)؟
  • هل شرط التعامد متحقق ليكون $(NP)$ موسطًا عموديًا؟

📝 الطريقة

في المثلث $ABC$، لدينا $N$ منتصف $[BC]$ و $P$ منتصف $[AC]$. إذن، المستقيم $(NP)$ هو "خط الوسط" المتعلق بالضلعين $[BC]$ و $[AC]$.

1) هل $(NP)$ هو الموسط العمودي؟
لكي يكون كذلك، يجب أن يكون $(NP) \perp (AC)$. لكن حسب نظرية خط الوسط، لدينا $(NP) \parallel (AB)$. وبما أن $(AB) \perp (AC)$، فإن $(NP) \perp (AC)$. إذن الشرط الأول (التعامد) محقق.
ولكن هل $(NP)$ يمر بمنتصف $[AC]$؟ نعم، هو يمر بـ $P$. إذن الشرطان محققان. العبارة صحيحة.

2) البرهان على التوازي:
حسب نظرية خط الوسط، المستقيم المار بمنتصفي ضلعين في مثلث يوازي الضلع الثالث. إذن $(NP) \parallel (AB)$.

✅ الحل الكامل

  1. هل $(NP)$ هو الموسط العمودي لـ $[AC]$؟

    نعم. البرهان:

    • لدينا $N$ منتصف $[BC]$ و $P$ منتصف $[AC]$. حسب نظرية خط الوسط، فإن $(NP) \parallel (AB)$.
    • بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$، فإن $(AB) \perp (AC)$.
    • بما أن $(NP) \parallel (AB)$ و $(AB) \perp (AC)$، فإن $(NP) \perp (AC)$.
    • بما أن المستقيم $(NP)$ عمودي على القطعة $[AC]$ ويمر بمنتصفها $P$، فهو إذن الموسط العمودي للقطعة $[AC]$.
  2. إثبات أن $(NP) \parallel (AB)$:

    في المثلث $ABC$، بما أن $N$ هي منتصف $[BC]$ و $P$ هي منتصف $[AC]$، فإن المستقيم $(NP)$ الذي يصل بينهما يوازي الضلع الثالث $[AB]$ حسب نظرية خط الوسط.