تمرين 15: الموسط العمودي

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
تحديد منتصف قطعة مستقيمة
تمرين 1
  1. ارسم قطعة مستقيم $[AB]$ حيث يكون $AB = 8cm$.
  2. ارسم نقطة $M$ تقع على بعد 4cm من $A$ و من $B$. ماذا تمثل النقطة $M$ بالنسبة إلى $[AB]$؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

قارن بين المسافة $MA$ والمسافة $MB$ وطول القطعة الكاملة $[AB]$. ماذا تلاحظ؟

📝 الطريقة

لدينا $MA = 4cm$ و $MB = 4cm$. هذا يعني أن $MA = MB$.
لدينا أيضًا $AB = 8cm$.
إذًا، $MA + MB = 4 + 4 = 8cm = AB$.
بما أن $M$ تقع على بعد متساوٍ من $A$ و $B$ ومجموع المسافتين يساوي طول القطعة، فإن $M$ تقع بين $A$ و $B$ وتقسمها إلى نصفين متساويين.

✅ الحل الكامل

بما أن $MA = MB = 4cm$ و $AB = 8cm$, فإن $M$ هي النقطة التي تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة وتقع عليها. إذن، النقطة $M$ هي منتصف القطعة $[AB]$.

تعريف الموسط العمودي
تمرين 2

ارسم المستقيم $\Delta$ المار من $M$ والعمودي على $(AB)$. ماذا يمثل المستقيم $\Delta$ بالنسبة لقطعة المستقيم $[AB]$؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هو تعريف الموسط العمودي؟ يتكون التعريف من شرطين. هل يحقق المستقيم $\Delta$ هذين الشرطين؟

📝 الطريقة

  1. الشرط الأول (المرور بالمنتصف): من التمرين السابق، نعلم أن $M$ هي منتصف $[AB]$. والمستقيم $\Delta$ يمر من $M$. إذن الشرط الأول محقق.
  2. الشرط الثاني (التعامد): حسب المعطيات، المستقيم $\Delta$ عمودي على $(AB)$. إذن الشرط الثاني محقق.

بما أن الشرطين محققان، فماذا نستنتج؟

✅ الحل الكامل

بما أن المستقيم $\Delta$ يمر بمنتصف القطعة $[AB]$ (النقطة $M$) وهو عمودي عليها، فإنه يمثل الموسط العمودي للقطعة $[AB]$ حسب التعريف.

مواضع النقاط على الموسط العمودي
تمرين 3

ارسم نقطة $C$ على $\Delta$ حيث يكون $MC = 3cm$. كم توجد من نقطة (غير النقطة $C$) تحقق الشرط السابق؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المستقيم $\Delta$ ممتد في اتجاهين من النقطة $M$. هل يمكننا إيجاد نقطة تبعد 3cm عن $M$ في الاتجاه الآخر؟

📝 الطريقة

هندسيًا، النقاط التي تبعد مسافة 3cm عن النقطة $M$ تشكل دائرة مركزها $M$ ونصف قطرها 3cm. تقاطع هذه الدائرة مع المستقيم $\Delta$ يعطي نقطتين: $C$ والنقطة المناظرة لها بالنسبة لـ $M$.

✅ الحل الكامل

توجد نقطة واحدة فقط أخرى تحقق الشرط. إذا كانت $C$ تقع على بعد 3cm من $M$ في اتجاه واحد على المستقيم $\Delta$، فإن هناك نقطة أخرى $C'$ على الجهة المقابلة من $M$ تحقق نفس الشرط، حيث $MC' = 3cm$. إذن، توجد نقطتان إجمالاً تحققان الشرط.

خاصية التناظر في التعامد
تمرين 4

بين أن المستقيم $(AB)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[CC']$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لإثبات أن $(AB)$ هو الموسط العمودي لـ $[CC']$، تحقق من شرطي التعريف: هل $(AB)$ عمودي على $[CC']$؟ وهل يمر بمنتصفها؟

📝 الطريقة

  1. المرور بالمنتصف: من التمرين السابق، $C$ و $C'$ متناظرتان بالنسبة لـ $M$، إذن $M$ هي منتصف $[CC']$. والمستقيم $(AB)$ يمر بـ $M$.
  2. التعامد: من تمرين 2، نعلم أن $(AB) \perp \Delta$. وبما أن القطعة $[CC']$ محتواة في المستقيم $\Delta$، فإن $(AB) \perp [CC']$.

بما أن $(AB)$ عمودي على $[CC']$ في منتصفها $M$، فهو إذن موسطها العمودي.

✅ الحل الكامل

من التمرين السابق، نعلم أن $M$ هي منتصف القطعة $[CC']$. ومن التمرين 2، نعلم أن المستقيم $(AB)$ عمودي على المستقيم $\Delta$. بما أن القطعة $[CC']$ محتواة في $\Delta$، فإن $(AB)$ عمودي على $[CC']$.
إذًا، المستقيم $(AB)$ عمودي على القطعة $[CC']$ ويمر بمنتصفها $M$. بالتالي، $(AB)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[CC']$.

المسافة بين نقطة ومستقيم
تمرين 5

ابحث عن البعد بين النقطة $A$ والمستقيم $\Delta$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هو تعريف المسافة بين نقطة ومستقيم؟ إنها طول المسقط العمودي من النقطة على المستقيم. هل تعرف هذه المسافة بالفعل من المعطيات السابقة؟

📝 الطريقة

المسافة بين النقطة $A$ والمستقيم $\Delta$ هي طول القطعة المستقيمة العمودية الواصلة بين $A$ و $\Delta$.
نحن نعلم أن $(AB) \perp \Delta$ وأن نقطة تقاطعهما هي $M$.
إذن، المسافة المطلوبة هي طول القطعة $[AM]$.

✅ الحل الكامل

المسافة بين نقطة $A$ ومستقيم $\Delta$ هي طول المسقط العمودي من $A$ على $\Delta$. بما أن $(AB) \perp \Delta$ في النقطة $M$، فإن المسقط العمودي لـ $A$ على $\Delta$ هو $M$.
إذًا، المسافة المطلوبة هي الطول $AM$.
من التمرين 1، نعلم أن $AM = 4cm$.
الجواب: البعد بين النقطة $A$ والمستقيم $\Delta$ هو 4cm.