هندسة المربع والخصائص الهندسية

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
تعامد قطري المربع
تمرين 1

المعطيات: نعتبر مربع $ABCD$ يبلغ طول ضلعه 3cm.

أثبت أن المستقيمين $(AC)$ و $(BD)$ متعامدان.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هي الخاصية الهندسية الأساسية التي تميز قطري المربع عن أقطار المستطيل أو متوازي الأضلاع؟

📝 الطريقة

البرهان يعتمد مباشرة على إحدى خصائص المربع.

  1. اذكر أن الشكل $ABCD$ هو مربع.
  2. اذكر أن $(AC)$ و $(BD)$ هما قطراه.
  3. استنتج العلاقة بينهما بناءً على الخاصية الهندسية للمربع.

✅ الحل الكامل

بما أن $ABCD$ مربع، فإن قطريه $(AC)$ و $(BD)$ متعامدان. هذه خاصية أساسية من خصائص المربع. إذن، $(AC) \perp (BD)$.

تقاطع قطري المربع
تمرين 2

المعطيات: نعتبر مربع $ABCD$ يبلغ طول ضلعه 3cm.

لتكن $O$ نقطة تقاطع $(AC)$ و $(BD)$. أثبت أن $O$ منتصف $[BD]$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المربع هو حالة خاصة من متوازي الأضلاع. ما هي خاصية تقاطع قطري أي متوازي أضلاع؟

📝 الطريقة

  1. بما أن كل مربع هو متوازي أضلاع، فإن $ABCD$ متوازي أضلاع.
  2. في متوازي الأضلاع، القطران ينصف كل منهما الآخر في نقطة تقاطعهما.
  3. بما أن $O$ هي نقطة تقاطع القطرين، استنتج موقعها بالنسبة للقطعة $[BD]$.

✅ الحل الكامل

بما أن $ABCD$ مربع، فهو متوازي أضلاع. من خصائص متوازي الأضلاع أن قطريه ينصف كل منهما الآخر عند نقطة تقاطعهما. بما أن $O$ هي نقطة تقاطع القطرين $(AC)$ و $(BD)$، فإن $O$ هي منتصف القطر $[BD]$ (وهي أيضاً منتصف القطر $[AC]$).

الموسط العمودي في المربع
تمرين 3

المعطيات: نعتبر مربع $ABCD$ يبلغ طول ضلعه 3cm، و $O$ نقطة تقاطع قطريه.

استنتج أن $(AC)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[BD]$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هما الشرطان اللذان يجب أن يحققهما مستقيم ليكون موسطًا عموديًا لقطعة؟ هل يمكنك إثباتهما باستخدام نتائج السؤالين السابقين؟

📝 الطريقة

لإثبات أن $(AC)$ هو الموسط العمودي لـ $[BD]$، يجب إثبات أمرين:

  1. التعامد: أثبت أن $(AC) \perp (BD)$. (تم إثبات ذلك في التمرين 1).
  2. المرور بالمنتصف: أثبت أن $(AC)$ يمر بمنتصف $[BD]$. (تم إثبات ذلك في التمرين 2).

بما أن الشرطين محققان، يمكنك استنتاج المطلوب.

✅ الحل الكامل

من التمرين 1، نعلم أن قطري المربع متعامدان، أي $(AC) \perp (BD)$.

من التمرين 2، نعلم أن القطرين ينصف كل منهما الآخر، أي أن $O$ هي منتصف $[BD]$، والمستقيم $(AC)$ يمر بالنقطة $O$.

بما أن المستقيم $(AC)$ عمودي على القطعة $[BD]$ ويمر بمنتصفها، فإن $(AC)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[BD]$.

التوازي والتعامد
تمرين 4

المعطيات: نعتبر مربع $ABCD$ يبلغ طول ضلعه 3cm، و $O$ نقطة تقاطع قطريه.

ارسم المستقيم $\Delta$ المار من $B$ والعمودي على $(BD)$. بين أن $(AC) \parallel \Delta$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ما هي العلاقة الهندسية بين مستقيمين عموديين على نفس المستقيم الثالث؟

📝 الطريقة

  1. اكتب العلاقة بين $\Delta$ و $(BD)$ من المعطيات.
  2. اكتب العلاقة بين $(AC)$ و $(BD)$ من التمرين 1.
  3. استنتج العلاقة بين $(AC)$ و $\Delta$ باستخدام خاصية هندسية معروفة.

✅ الحل الكامل

لدينا من المعطيات أن المستقيم $\Delta$ عمودي على $(BD)$، أي $\Delta \perp (BD)$.

ولدينا من التمرين 1 أن المستقيم $(AC)$ عمودي على $(BD)$، أي $(AC) \perp (BD)$.

بما أن المستقيمين $(AC)$ و $\Delta$ كلاهما عمودي على نفس المستقيم الثالث $(BD)$، فإنهما متوازيان.

إذًا، $(AC) \parallel \Delta$.

التطابق والتوازي
تمرين 5

المعطيات: نعتبر مربع $ABCD$ والمستقيم $\Delta$ المار من $B$ والعمودي على $(BD)$.

لتكن $E$ نقطة تحقق أن المستقيم $(BE)$ يوازي $(AC)$. أثبت أن النقطة $E$ تنتمي إلى المستقيم $\Delta$.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

إذا كان مستقيمان متوازيين ويشتركان في نقطة واحدة، فماذا يمكن أن نقول عنهما؟

📝 الطريقة

  1. من معطيات هذا السؤال، لدينا $(BE) \parallel (AC)$.
  2. من السؤال السابق (تمرين 4)، أثبتنا أن $(AC) \parallel \Delta$.
  3. استخدم خاصية التعدي للتوازي لاستنتاج العلاقة بين $(BE)$ و $\Delta$.
  4. لاحظ أن النقطة $B$ تنتمي إلى كل من المستقيم $(BE)$ والمستقيم $\Delta$.
  5. استنتج أن المستقيمين متطابقان، وبالتالي فإن أي نقطة على أحدهما تنتمي للآخر.

✅ الحل الكامل

لدينا $(BE) \parallel (AC)$ (حسب المعطيات).
ومن التمرين السابق، نعلم أن $(AC) \parallel \Delta$.

بخاصية التعدي للتوازي، نستنتج أن $(BE) \parallel \Delta$.

بالإضافة إلى ذلك، نعلم أن النقطة $B$ تنتمي إلى المستقيم $(BE)$ (من تعريفه) وأيضًا تنتمي إلى المستقيم $\Delta$ (من تعريفه).

إذًا، المستقيمان $(BE)$ و $\Delta$ متوازيان ويشتركان في النقطة $B$. هذا يعني أنهما مستقيمان متطابقان: $(BE) = \Delta$.

بما أن $E$ تنتمي إلى المستقيم $(BE)$، فإنها بالضرورة تنتمي إلى المستقيم المطابق له $\Delta$.

إذًا، $E \in \Delta$.