سلسلة تمارين: الإسقاط العمودي في المستوي

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
الإسقاط العمودي في مثلث قائم
تمرين 1

ليكن $ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$.

  1. أ) ما هو المسقط العمودي للنقطة $B$ على $(BC)$؟
    ب) ما هو المسقط العمودي للنقطة $C$ على $(AB)$؟
  2. أ) عين النقطة $H$، المسقط العمودي للنقطة $A$ على $(BC)$.
    ب) ماذا تمثل القطعة $[AH]$ بالنسبة للمثلث $ABC$؟
  3. أ) ما هو المسقط العمودي للقطعة $[AC]$ على $(BC)$؟
    ب) ما هو المسقط العمودي للقطعة $[AB]$ على $(BC)$؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • تذكر تعريف الإسقاط العمودي: مسقط نقطة $M$ على مستقيم $(D)$ هو نقطة تقاطع المستقيم $(D)$ مع المستقيم العمودي عليه والمار من $M$.
  • ماذا يحدث إذا كانت النقطة تنتمي أصلًا للمستقيم الذي نسقط عليه؟
  • استفد من الزاوية القائمة في المثلث لتحديد بعض المساقط مباشرة.

📝 الطريقة

1.أ) بما أن النقطة $B$ تنتمي إلى المستقيم $(BC)$، فإن مسقطها العمودي على هذا المستقيم هو النقطة نفسها.

1.ب) بما أن المثلث $ABC$ قائم في $A$، فإن المستقيم $(AC)$ عمودي على المستقيم $(AB)$. إذن مسقط $C$ على $(AB)$ هو النقطة $A$.

2) النقطة $H$ هي مسقط $A$ على $(BC)$، وهذا يعني أن $(AH) \perp (BC)$. هذه هي بالضبط خاصية الارتفاع.

3) لإيجاد مسقط قطعة مستقيمة، قم بإسقاط طرفيها ثم صل بين المسقطين.

✅ الحل الكامل

1) أ) المسقط العمودي للنقطة $B$ على $(BC)$ هو النقطة $B$ نفسها.

1) ب) المسقط العمودي للنقطة $C$ على $(AB)$ هو النقطة $A$.

2) أ) النقطة $H$ هي نقطة تقاطع الارتفاع الصادر من $A$ مع الضلع $[BC]$.

2) ب) القطعة $[AH]$ تمثل الارتفاع الصادر من $A$ في المثلث $ABC$.

3) أ) مسقط $A$ على $(BC)$ هو $H$ ومسقط $C$ على $(BC)$ هو $C$. إذن مسقط $[AC]$ على $(BC)$ هو القطعة $[HC]$.

3) ب) مسقط $A$ على $(BC)$ هو $H$ ومسقط $B$ على $(BC)$ هو $B$. إذن مسقط $[AB]$ على $(BC)$ هو القطعة $[HB]$.

طبيعة رباعي
تمرين 2

ارسم مثلثًا $ABC$ قائم الزاوية في $A$.

  1. ما هو المسقط العمودي للنقطة $B$ على المستقيم $(AC)$؟ وما هو مسقط $C$ على $(AB)$؟
  2. عين النقطة $H$، المسقط العمودي للنقطة $A$ على $(BC)$. ماذا يمكن أن نقول عن $[AH]$؟
  3. لتكن $I$ و $J$ المسقطين العموديين على التوالي للنقطة $H$ على $(AB)$ و $(AC)$. ما هي طبيعة الرباعي $AIHJ$؟
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • لتحديد طبيعة رباعي، ابحث عن خصائصه: الأضلاع المتوازية، الأضلاع المتقايسة، الزوايا القائمة.
  • استفد من تعريف الإسقاط العمودي. إذا كانت $I$ هي مسقط $H$ على $(AB)$، فما هي طبيعة الزاوية $\angle AIH$؟
  • كم زاوية قائمة يمكنك إيجادها في الرباعي $AIHJ$؟

📝 الطريقة

1) بما أن المثلث قائم في $A$، فإن $(AB) \perp (AC)$، وهذا يساعد في تحديد المساقط مباشرة.

2) $[AH]$ هو الارتفاع الصادر من $A$.

3) لتحديد طبيعة $AIHJ$:

  • الزاوية $\angle IAJ$ قائمة لأن المثلث $ABC$ قائم في $A$.
  • $I$ مسقط $H$ على $(AB)$ يعني أن $\angle AIH = 90^\circ$.
  • $J$ مسقط $H$ على $(AC)$ يعني أن $\angle AJH = 90^\circ$.
  • رباعي له ثلاث زوايا قائمة هو...

✅ الحل الكامل

1) المسقط العمودي لـ $B$ على $(AC)$ هو $A$. والمسقط العمودي لـ $C$ على $(AB)$ هو $A$.

2) $[AH]$ هو الارتفاع المتعلق بالضلع $[BC]$ في المثلث $ABC$.

3) طبيعة الرباعي $AIHJ$:

  • لدينا $\angle IAJ = 90^\circ$ (لأن المثلث قائم في $A$).
  • بما أن $I$ هو المسقط العمودي لـ $H$ على $(AB)$، فإن $(HI) \perp (AB)$، وبالتالي $\angle AIH = 90^\circ$.
  • بما أن $J$ هو المسقط العمودي لـ $H$ على $(AC)$، فإن $(HJ) \perp (AC)$، وبالتالي $\angle AJH = 90^\circ$.

الرباعي $AIHJ$ له ثلاث زوايا قائمة، فهو إذن مستطيل.

الإسقاط ونظرية المستقيمين المتوازيين
تمرين 3
  1. ارسم مثلثًا $MNP$، عين النقطة $A$ منتصف $[MN]$، ثم النقطة $C$، المسقط العمودي للنقطة $N$ على $(MP)$.
  2. أنشئ $B$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(MP)$.
  3. أثبت أن $B$ هي منتصف $[MC]$.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

  • ماذا يمكنك أن تقول عن المستقيمين $(AB)$ و $(NC)$؟ كلاهما عمودي على نفس المستقيم $(MP)$.

📝 الطريقة

الخطوة 1: إثبات التوازي

بما أن $B$ هي المسقط العمودي لـ $A$ على $(MP)$، فإن $(AB) \perp (MP)$.
بما أن $C$ هي المسقط العمودي لـ $N$ على $(MP)$، فإن $(NC) \perp (MP)$.
إذًا، المستقيمان $(AB)$ و $(NC)$ متوازيان لأنهما عموديان على نفس المستقيم.

✅ الحل الكامل

لدينا $B$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(MP)$، إذن $(AB) \perp (MP)$.
ولدينا $C$ المسقط العمودي لـ $N$ على $(MP)$، إذن $(NC) \perp (MP)$.

بما أن المستقيمين $(AB)$ و $(NC)$ عموديان على نفس المستقيم $(MP)$، فإنهما متوازيان: $(AB) \parallel (NC)$.

الآن، نعتبر المثلث $MNC$:

  • $A$ هي منتصف $[MN]$ (حسب المعطيات).

إذًا، $B$ هي منتصف القطعة $[MC]$.