القاعدة الأساسية: يمكن إنجاز إنشاءات معقدة باستخدام المسطرة والبركار فقط
المبدأ: كل إنشاء يعتمد على تقاطع دوائر ومستقيمات
المماس الخارجي: يلمس كل دائرة من الخارج
المماس الداخلي: يلمس إحدى الدوائر من الداخل والأخرى من الخارج
الشرط: |r1 - r2| < AB < r1 + r2 للتداخل الجزئي
الخصائص: أضلاع متقابلة متساوية ومتوازية
الزوايا: زوايا متقابلة متساوية، زوايا متتالية متكاملة
الطريقة: استخدام خاصية التوازي ونقل الزوايا
• خطط للإنشاء قبل البدء
• استخدم دوائر مساعدة عند الحاجة
• تحقق من دقة كل خطوة
• اربط بالخصائص الهندسية المعروفة
المماسات المشتركة • متوازي الأضلاع • الدوائر • التطبيقات المتقدمة
افترض دائرتين متداخلتين جزئياً، مع مركزين A و B، وأنصاف أقطار r1 و r2.
أنشئ مماساً خارجياً مشتركاً باستخدام المسطرة والبركار فقط.
ما هي خصائص المماس المشترك؟ (يلمس كل دائرة في نقطة واحدة، ويكون عمودياً على نصف القطر في نقطة اللمس).
كيف يمكن استخدام دائرة مساعدة للعثور على نقاط اللمس؟
ما الفرق بين المماس الخارجي والداخلي؟
هل هناك علاقة بين البعد بين المركزين والأنصاف أقطار؟
الخطوات الأساسية:
1. ارسم خطاً يصل بين المركزين A و B
2. أنشئ دائرة مساعدة بمركز A ونصف قطر |r1 - r2|
3. من نقطة B، أرسل مماساً إلى الدائرة المساعدة
4. ارسم خطاً من A إلى نقطة اللمس، ومدده للدوائر الأصلية
5. الخط الناتج هو المماس المشترك
مثال عملي: AB = 5 سم, r1 = 4 سم, r2 = 3 سم
1. رسم AB = 5 سم
2. دائرة مساعدة: مركز A, نصف قطر |4 - 3| = 1 سم
3. من B، مماسان إلى الدائرة المساعدة: طول المماس = √(AB² - (r1 - r2)²) = √(25 - 1) = √24 ≈ 4.9 سم
4. نقطة C: تقاطع المماس مع الدائرة المساعدة
5. خط AC ممدد: يقطع الدائرة الأولى في P (نقطة لمس) والثانية في Q
الإثبات: بما أن AP ⊥ مماس في P، و BQ ⊥ مماس في Q، والبعد متساوية بناءً على التشابه
النتيجة: مماس خارجي مشترك مُنشأ بدقة
أنشئ متوازي أضلاع معطى ضلعين وزاوية بينهما، باستخدام البركار والمسطرة.
المعطيات: AB = 5 سم، BC = 4 سم، زاوية ABC = 60°
ما خصائص متوازي الأضلاع؟ (أضلاع مقابلة متساوية ومتوازية، زوايا مقابلة متساوية).
كيف تنقل الزاوية باستخدام البركار؟
علاقة بالمتجهات أو التحويلات؟
خطوات الإنشاء:
1. ارسم الضلع الأول AB = 5 سم
2. من B، انقل الزاوية المعطاة 60° لرسم الضلع الثاني BC = 4 سم
3. من A، ارسم قوساً بنصف قطر BC = 4 سم
4. من C، ارسم قوساً بنصف قطر AB = 5 سم
5. نقطة التقاطع D تكمل الشكل ABCD
التطبيق العملي:
1. رسم AB = 5 سم
2. من B، رسم خط بزاوية 60°، ثم قياس BC = 4 سم
3. قوس من A بنصف قطر 4 سم، قوس من C بنصف قطر 5 سم، تقاطع في D
4. توصيل AD و CD لإكمال متوازي الأضلاع
الإثبات: AB // CD, AD // BC بسبب تساوي الأضلاع، وزوايا متكاملة
النتيجة: متوازي أضلاع كامل ودقيق
دائرتان متداخلتان جزئياً بمركزين O1 و O2 وأنصاف أقطار r1 = 6 سم و r2 = 4 سم.
أنشئ المماس الداخلي المشترك إذا كانت البعد O1O2 = 8 سم.
للمماس الداخلي، استخدم r1 + r2 بدلاً من |r1 - r2|
تحقق من شرط التداخل: |r1 - r2| < O1O2 < r1 + r2
|6 - 4| = 2 < 8 < 6 + 4 = 10 ✓
1. ارسم O1O2 = 8 سم
2. دائرة مساعدة: مركز O1، نصف قطر r1 + r2 = 10 سم
3. من O2، ارسم مماساً إلى الدائرة المساعدة
4. طول المماس = √(64 - 100) = خطأ! هذا يعني عدم وجود مماس داخلي
تصحيح: بما أن O1O2 = 8 سم < r1 + r2 = 10 سم، فالدوائر متداخلتان
لكن 8 > r1 - r2 = 2، إذن يوجد مماسان خارجيان فقط
المماس الداخلي غير ممكن في هذه الحالة
النتيجة: لا يوجد مماس داخلي للمعطيات المذكورة
ملاحظة تعليمية: التحقق من الشروط أساسي قبل الإنشاء