الأساسيات والتعاريف (15 سؤال)
البرهان: $a^1 = a$
بالتعريف: $a^1$ يعني ضرب a في نفسه مرة واحدة
إذن $a^1 = a$ ✓
مثال: $2^3 = 8 > 4 = 2^2$ ✓
إذن $a^1 = a$ ✓
مثال: $2^3 = 8 > 4 = 2^2$ ✓
البرهان: مساحة المربع = $s^2$ حيث s طول الضلع
البرهان الهندسي:
المربع يحتوي على $s \times s$ مربع وحدة
كل مربع وحدة مساحته = 1
إذن المساحة الكلية = $s \times s = s^2$ ✓
مثال: مربع طول ضلعه 5 سم، مساحته = $5^2 = 25$ سم²
المربع يحتوي على $s \times s$ مربع وحدة
كل مربع وحدة مساحته = 1
إذن المساحة الكلية = $s \times s = s^2$ ✓
مثال: مربع طول ضلعه 5 سم، مساحته = $5^2 = 25$ سم²
البرهان: حجم المكعب = $s^3$ حيث s طول الحرف
البرهان الهندسي:
المكعب يحتوي على $s \times s \times s$ مكعب وحدة
كل مكعب وحدة حجمه = 1
إذن الحجم الكلي = $s \times s \times s = s^3$ ✓
مثال: مكعب طول حرفه 3 سم، حجمه = $3^3 = 27$ سم³
المكعب يحتوي على $s \times s \times s$ مكعب وحدة
كل مكعب وحدة حجمه = 1
إذن الحجم الكلي = $s \times s \times s = s^3$ ✓
مثال: مكعب طول حرفه 3 سم، حجمه = $3^3 = 27$ سم³
البرهان: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ عندما $n > 0$ و $a > 0$
نريد إثبات أن $(a^{m/n})^n = a^m$
$(a^{m/n})^n = a^{(m/n) \times n} = a^m$ ✓
وبالتعريف: $(\sqrt[n]{a^m})^n = a^m$ ✓
إذن $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ ✓
مثال: $8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$
أو: $8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4$ ✓
$(a^{m/n})^n = a^{(m/n) \times n} = a^m$ ✓
وبالتعريف: $(\sqrt[n]{a^m})^n = a^m$ ✓
إذن $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ ✓
مثال: $8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$
أو: $8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4$ ✓
البرهان: $(ab)^{m/n} = a^{m/n} \times b^{m/n}$ عندما $a, b > 0$
لنتحقق أن $((ab)^{m/n})^n = (a^{m/n} \times b^{m/n})^n$:
الطرف الأيسر: $((ab)^{m/n})^n = (ab)^m = a^m b^m$
الطرف الأيمن: $(a^{m/n} \times b^{m/n})^n = (a^{m/n})^n \times (b^{m/n})^n = a^m \times b^m$
إذن $(ab)^{m/n} = a^{m/n} \times b^{m/n}$ ✓
الطرف الأيسر: $((ab)^{m/n})^n = (ab)^m = a^m b^m$
الطرف الأيمن: $(a^{m/n} \times b^{m/n})^n = (a^{m/n})^n \times (b^{m/n})^n = a^m \times b^m$
إذن $(ab)^{m/n} = a^{m/n} \times b^{m/n}$ ✓
البرهان: $\sqrt[n]{a^{n+1}} = a \cdot \sqrt[n]{a}$ عندما $a \geq 0$
$\sqrt[n]{a^{n+1}} = a^{(n+1)/n} = a^{n/n + 1/n} = a^{1 + 1/n} = a^1 \cdot a^{1/n} = a \cdot \sqrt[n]{a}$ ✓
مثال:
$\sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{16} = 2 \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot 2^{1/3} = 2^{4/3}$ ✓
مثال:
$\sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{16} = 2 \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot 2^{1/3} = 2^{4/3}$ ✓
الجذور والأسس الكسرية (10 أسئلة)
البرهان: $\sqrt{2}$ عدد غير نسبي
البرهان بالتناقض:
نفترض أن $\sqrt{2}$ نسبي، أي $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ حيث $p, q$ صحيحان و $\gcd(p,q) = 1$
$2 = \frac{p^2}{q^2}$، إذن $2q^2 = p^2$
إذن $p^2$ زوجي، وبالتالي p زوجي
نكتب $p = 2k$، إذن $2q^2 = 4k^2$
$q^2 = 2k^2$، إذن $q^2$ زوجي، وبالتالي q زوجي
لكن هذا يعني أن p و q كلاهما زوجي (تناقض مع $\gcd(p,q) = 1$)
إذن $\sqrt{2}$ غير نسبي ✓
نفترض أن $\sqrt{2}$ نسبي، أي $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ حيث $p, q$ صحيحان و $\gcd(p,q) = 1$
$2 = \frac{p^2}{q^2}$، إذن $2q^2 = p^2$
إذن $p^2$ زوجي، وبالتالي p زوجي
نكتب $p = 2k$، إذن $2q^2 = 4k^2$
$q^2 = 2k^2$، إذن $q^2$ زوجي، وبالتالي q زوجي
لكن هذا يعني أن p و q كلاهما زوجي (تناقض مع $\gcd(p,q) = 1$)
إذن $\sqrt{2}$ غير نسبي ✓
البرهان: $\sqrt{p}$ غير نسبي لأي عدد أولي p
البرهان بالتناقض:
نفترض $\sqrt{p} = \frac{a}{b}$ حيث $\gcd(a,b) = 1$
$p = \frac{a^2}{b^2}$، إذن $pb^2 = a^2$
إذن $p | a^2$، وبما أن p أولي فإن $p | a$
نكتب $a = pk$، إذن $pb^2 = p^2k^2$
$b^2 = pk^2$، إذن $p | b^2$، وبالتالي $p | b$
لكن هذا يعني $p | \gcd(a,b)$ (تناقض مع $\gcd(a,b) = 1$)
إذن $\sqrt{p}$ غير نسبي ✓
نفترض $\sqrt{p} = \frac{a}{b}$ حيث $\gcd(a,b) = 1$
$p = \frac{a^2}{b^2}$، إذن $pb^2 = a^2$
إذن $p | a^2$، وبما أن p أولي فإن $p | a$
نكتب $a = pk$، إذن $pb^2 = p^2k^2$
$b^2 = pk^2$، إذن $p | b^2$، وبالتالي $p | b$
لكن هذا يعني $p | \gcd(a,b)$ (تناقض مع $\gcd(a,b) = 1$)
إذن $\sqrt{p}$ غير نسبي ✓
البرهان: $\sqrt[mn]{a} = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$ للأعداد الموجبة
$\sqrt[mn]{a} = a^{1/(mn)}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m]{a^{1/n}} = (a^{1/n})^{1/m} = a^{(1/n) \times (1/m)} = a^{1/(mn)}$ ✓
مثال:
$\sqrt[6]{64} = \sqrt[2]{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2]{4} = 2$
أو: $\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}} = \sqrt[3]{8} = 2$ ✓
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m]{a^{1/n}} = (a^{1/n})^{1/m} = a^{(1/n) \times (1/m)} = a^{1/(mn)}$ ✓
مثال:
$\sqrt[6]{64} = \sqrt[2]{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[2]{4} = 2$
أو: $\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}} = \sqrt[3]{8} = 2$ ✓
البرهان: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ عندما $b > 0$
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{1/n} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ ✓
مثال:
$\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{16}{2}} = \sqrt[3]{8} = 2$
مثال:
$\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{16}{2}} = \sqrt[3]{8} = 2$
البرهان: $(\sqrt[n]{a})^n = a$ لجميع $a \geq 0$
$(\sqrt[n]{a})^n = (a^{1/n})^n = a^{(1/n) \times n} = a^1 = a$ ✓
هذا صحيح لجميع $a \geq 0$
لأن $\sqrt[n]{a}$ معرف ومعين بوحدانية لـ $a \geq 0$
أمثلة:
$(\sqrt{9})^2 = 3^2 = 9$ ✓
$(\sqrt[5]{32})^5 = 2^5 = 32$ ✓
هذا صحيح لجميع $a \geq 0$
لأن $\sqrt[n]{a}$ معرف ومعين بوحدانية لـ $a \geq 0$
أمثلة:
$(\sqrt{9})^2 = 3^2 = 9$ ✓
$(\sqrt[5]{32})^5 = 2^5 = 32$ ✓
البرهان: $a^{m/n} \times a^{p/q} = a^{(mq + np)/nq}$ عندما $a > 0$
$a^{m/n} \times a^{p/q} = a^{m/n + p/q}$
$= a^{\frac{mq}{nq} + \frac{np}{nq}} = a^{\frac{mq + np}{nq}}$ ✓
مثال:
$8^{1/3} \times 8^{1/2} = 8^{1/3 + 1/2} = 8^{2/6 + 3/6} = 8^{5/6}$
$= a^{\frac{mq}{nq} + \frac{np}{nq}} = a^{\frac{mq + np}{nq}}$ ✓
مثال:
$8^{1/3} \times 8^{1/2} = 8^{1/3 + 1/2} = 8^{2/6 + 3/6} = 8^{5/6}$
البرهان: $(a^{m/n})^{p/q} = a^{mp/nq}$ عندما $a > 0$
$(a^{m/n})^{p/q} = a^{(m/n) \times (p/q)} = a^{mp/nq}$ ✓
مثال:
$(16^{1/2})^{3/4} = 16^{(1/2) \times (3/4)} = 16^{3/8}$
$= (2^4)^{3/8} = 2^{4 \times 3/8} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$
مثال:
$(16^{1/2})^{3/4} = 16^{(1/2) \times (3/4)} = 16^{3/8}$
$= (2^4)^{3/8} = 2^{4 \times 3/8} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$
البرهان: $a^{1/n}$ موجب عندما $a > 0$
بما أن $a > 0$ ونريد إيجاد $x = a^{1/n}$ بحيث $x^n = a$
إذا كان $x < 0$، فإن $x^n$ يعتمد على زوجية n
لكن عند n زوجي: $x^n > 0$، وعند n فردي: $x^n < 0$
في كلا الحالتين، عندما نأخذ الجذر الموجب، نحصل على $x > 0$
إذن $a^{1/n} > 0$ ✓
إذا كان $x < 0$، فإن $x^n$ يعتمد على زوجية n
لكن عند n زوجي: $x^n > 0$، وعند n فردي: $x^n < 0$
في كلا الحالتين، عندما نأخذ الجذر الموجب، نحصل على $x > 0$
إذن $a^{1/n} > 0$ ✓
البرهان: $a^{1/n}$ وحيد عندما $a \geq 0$
نفترض وجود $x, y \geq 0$ بحيث $x^n = y^n = a$
إذن $x^n - y^n = 0$
بما أن $x, y \geq 0$، والدالة $f(t) = t^n$ متزايدة للأعداد الموجبة
إذن $x = y$ ✓
لذلك $a^{1/n}$ وحيد
إذن $x^n - y^n = 0$
بما أن $x, y \geq 0$، والدالة $f(t) = t^n$ متزايدة للأعداد الموجبة
إذن $x = y$ ✓
لذلك $a^{1/n}$ وحيد
البرهان: $\sqrt{a^2 + b^2} \geq \sqrt{2ab}$ عندما $a, b \geq 0$
نريد إثبات أن $a^2 + b^2 \geq 2ab$
$a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 \geq 0$ ✓
إذن $a^2 + b^2 \geq 2ab$
بأخذ الجذر التربيعي: $\sqrt{a^2 + b^2} \geq \sqrt{2ab}$ ✓
المساواة: تحدث عندما $a = b$
$a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 \geq 0$ ✓
إذن $a^2 + b^2 \geq 2ab$
بأخذ الجذر التربيعي: $\sqrt{a^2 + b^2} \geq \sqrt{2ab}$ ✓
المساواة: تحدث عندما $a = b$
التطبيقات والمسائل (10 أسئلة)
تطبيق: الفائدة المركبة والنمو الأسي
المعادلة:
المبلغ النهائي = $P(1 + r)^n$
حيث P المبلغ الأولي، r معدل الفائدة، n عدد السنوات
مثال: 1000 درهم بفائدة 10% لمدة 10 سنوات:
$A = 1000(1.1)^{10} = 1000 \times 2.594 \approx 2594$ درهم
الملاحظة: الأس n يجعل النمو سريعاً جداً ✓
المبلغ النهائي = $P(1 + r)^n$
حيث P المبلغ الأولي، r معدل الفائدة، n عدد السنوات
مثال: 1000 درهم بفائدة 10% لمدة 10 سنوات:
$A = 1000(1.1)^{10} = 1000 \times 2.594 \approx 2594$ درهم
الملاحظة: الأس n يجعل النمو سريعاً جداً ✓
تطبيق: نمو البكتيريا الأسي
النموذج:
إذا كانت البكتيريا تتضاعف كل فترة زمنية:
العدد بعد t فترة: $N(t) = N_0 \times 2^t$
مثال: بكتيريا تبدأ بـ 100 وتتضاعف كل ساعة
بعد 5 ساعات: $N = 100 \times 2^5 = 3200$ بكتيريا ✓
إذا كانت البكتيريا تتضاعف كل فترة زمنية:
العدد بعد t فترة: $N(t) = N_0 \times 2^t$
مثال: بكتيريا تبدأ بـ 100 وتتضاعف كل ساعة
بعد 5 ساعات: $N = 100 \times 2^5 = 3200$ بكتيريا ✓
تطبيق: نظرية فيثاغورس والأبعاد
النظرية: في مثلث قائم الزاوية:
$a^2 + b^2 = c^2$
حيث c الوتر، a و b الضلعان الآخران
مثال: مثلث أضلاعه 3، 4، 5:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ✓
البُعد: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
$a^2 + b^2 = c^2$
حيث c الوتر، a و b الضلعان الآخران
مثال: مثلث أضلاعه 3، 4، 5:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ ✓
البُعد: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
تطبيق: قانون التربيع العكسي في الفيزياء
قانون الجاذبية:
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
القوة تتناسب عكسياً مع مربع المسافة
المعنى: إذا تضاعفت المسافة، تصبح القوة ربع ما كانت عليه
مثال: $F_2 = \frac{F_1}{4}$ عند $r_2 = 2r_1$ ✓
$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
القوة تتناسب عكسياً مع مربع المسافة
المعنى: إذا تضاعفت المسافة، تصبح القوة ربع ما كانت عليه
مثال: $F_2 = \frac{F_1}{4}$ عند $r_2 = 2r_1$ ✓
تطبيق: حساب المسافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد
الصيغة:
المسافة بين نقطتين $(x_1, y_1, z_1)$ و $(x_2, y_2, z_2)$:
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$
مثال: المسافة بين (0,0,0) و (3,4,12):
$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ✓
المسافة بين نقطتين $(x_1, y_1, z_1)$ و $(x_2, y_2, z_2)$:
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$
مثال: المسافة بين (0,0,0) و (3,4,12):
$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ✓
تطبيق: حجم الكرة ومساحتها
حجم الكرة: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
مساحة السطح: $A = 4\pi r^2$
مثال: كرة نصف قطرها 3 سم:
$V = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = 36\pi$ سم³
$A = 4\pi (3)^2 = 36\pi$ سم² ✓
مساحة السطح: $A = 4\pi r^2$
مثال: كرة نصف قطرها 3 سم:
$V = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = 36\pi$ سم³
$A = 4\pi (3)^2 = 36\pi$ سم² ✓
تطبيق: سرعة الهروب من الأرض
الصيغة:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
حيث G ثابت الجاذبية، M كتلة الأرض، R نصف قطرها
القيمة: $v_e \approx 11.2$ كم/ثانية
الملاحظة: الجذر التربيعي يأتي من قانون حفظ الطاقة ✓
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
حيث G ثابت الجاذبية، M كتلة الأرض، R نصف قطرها
القيمة: $v_e \approx 11.2$ كم/ثانية
الملاحظة: الجذر التربيعي يأتي من قانون حفظ الطاقة ✓
تطبيق: قانون مساحة الدائرة
الصيغة: $A = \pi r^2$
البرهان البسيط:
يمكن تقسيم الدائرة إلى قطاعات صغيرة وإعادة ترتيبها
لتشكيل شبه مستطيل بطول $\pi r$ وعرض $r$
المساحة = $\pi r \times r = \pi r^2$ ✓
مثال: دائرة نصف قطرها 5 سم:
$A = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.5$ سم²
البرهان البسيط:
يمكن تقسيم الدائرة إلى قطاعات صغيرة وإعادة ترتيبها
لتشكيل شبه مستطيل بطول $\pi r$ وعرض $r$
المساحة = $\pi r \times r = \pi r^2$ ✓
مثال: دائرة نصف قطرها 5 سم:
$A = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.5$ سم²
تطبيق: الجذور في الهندسة المعمارية
النسبة الذهبية: $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$
تستخدم في تصميم المباني والفن
الخاصية: $\phi^2 = \phi + 1$
التحقق:
$\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
$\phi + 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ ✓
تستخدم في تصميم المباني والفن
الخاصية: $\phi^2 = \phi + 1$
التحقق:
$\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$
$\phi + 1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ ✓
تطبيق: المتوسط التربيعي RMS
الصيغة: للأعداد $x_1, x_2, \ldots, x_n$:
$\text{RMS} = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}}$
الاستخدام: في الكهرباء لحساب الجهد الفعال
مثال: للأعداد 3، 4، 5:
$\text{RMS} = \sqrt{\frac{9 + 16 + 25}{3}} = \sqrt{\frac{50}{3}} \approx 4.08$ ✓
$\text{RMS} = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}}$
الاستخدام: في الكهرباء لحساب الجهد الفعال
مثال: للأعداد 3، 4، 5:
$\text{RMS} = \sqrt{\frac{9 + 16 + 25}{3}} = \sqrt{\frac{50}{3}} \approx 4.08$ ✓
50 سؤال في القوى والجذور
🏠 الصفحة الرئيسية
1️⃣ الأساسيات والتعاريف (15 سؤال)
سهل
📝 كيف أبين أن $a^1 = a$؟
📝 كيف أبين أن $a^0 = 1$ عندما $a \neq 0$؟
📝 كيف أبين أن $1^n = 1$؟
📝 كيف أبين أن $0^n = 0$ عندما $n > 0$؟
📝 كيف أبين أن $(ab)^n = a^n b^n$؟
📝 كيف أبين أن $a^m \times a^n = a^{m+n}$؟
📝 كيف أبين أن $(a^m)^n = a^{mn}$؟
📝 كيف أبين أن $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$؟
📝 كيف أبين أن $a^2 \geq 0$؟
📝 كيف أبين أن $a^2 = 0$ ⟺ $a = 0$؟
📝 كيف أبين أن $a^{2n} \geq 0$؟
📝 كيف أبين أن $a^m = a^n$ ⟹ $m = n$؟
📝 كيف أبين أن $|a^n| = |a|^n$؟
📝 كيف أبين أن $\sqrt[n]{0} = 0$؟
📝 كيف أبين أن $\sqrt[n]{1} = 1$؟
2️⃣ الخصائص والعمليات (15 سؤال)
متوسط
🔄 كيف أبين أن $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$؟
🔄 كيف أبين أن $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$؟
🔄 كيف أبين أن $(\sqrt[n]{a})^n = a$؟
🔄 كيف أبين أن $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$؟
🔄 كيف أبين أن $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$؟
🔄 كيف أبين أن $\sqrt[n]{a^n} = a$ عندما $a \geq 0$؟
🔄 كيف أبين أن $\sqrt{a+b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$؟
🔄 كيف أبين المتوسط الهندسي ≤ الحسابي؟
🔄 كيف أبين أن $\sqrt[n]{a}$ دالة متزايدة؟
🔄 كيف أبين أن $a^r > a^s$ عندما $a > 1$؟
🔄 كيف أبين أن مساحة المربع = $s^2$؟
🔄 كيف أبين أن حجم المكعب = $s^3$؟
🔄 كيف أبين أن $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$؟
🔄 كيف أبين أن $(ab)^{m/n} = a^{m/n} \times b^{m/n}$؟
🔄 كيف أبين أن $\sqrt[n]{a^{n+1}} = a \cdot \sqrt[n]{a}$؟
3️⃣ الجذور والأسس الكسرية (10 أسئلة)
صعب
√ كيف أبين أن $\sqrt{2}$ غير نسبي؟
√ كيف أبين أن $\sqrt{p}$ غير نسبي للعدد الأولي p؟
√ كيف أبين أن $\sqrt[mn]{a} = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$؟
√ كيف أبين أن $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$؟
√ كيف أبين أن $(\sqrt[n]{a})^n = a$؟
√ كيف أبين أن $a^{m/n} \times a^{p/q} = a^{(mq+np)/nq}$؟
√ كيف أبين أن $(a^{m/n})^{p/q} = a^{mp/nq}$؟
√ كيف أبين أن $a^{1/n} > 0$ عندما $a > 0$؟
√ كيف أبين وحدانية $a^{1/n}$؟
√ كيف أبين أن $\sqrt{a^2+b^2} \geq \sqrt{2ab}$؟
4️⃣ التطبيقات والمسائل (10 أسئلة)
متوسط
🎯 الفائدة المركبة والنمو الأسي
🎯 نمو البكتيريا الأسي
🎯 نظرية فيثاغورس والأبعاد
🎯 قانون التربيع العكسي في الفيزياء
🎯 المسافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد
🎯 حجم الكرة ومساحتها
🎯 سرعة الهروب من الأرض
🎯 قانون مساحة الدائرة
🎯 الجذور في الهندسة المعمارية
🎯 المتوسط التربيعي RMS