المفاهيم الأساسية - التناظر المحوري

📐

تعريف التناظر المحوري

التعريف:
التناظر المحوري ذو المحور (d) هو التحويل الذي يقرن لكل نقطة M النقطة M' بحيث يكون المحور (d) هو المحور المتوسط للقطعة [MM'].

المحور المتوسط لقطعة يعني أنه عمودي عليها ويمر بمنتصفها

مثال توضيحي:
تخيل أنك تطوي ورقة على خط مستقيم. النقطة وصورتها تتطابقان عند الطي.

أو كما لو كنت تنظر في مرآة موضوعة على المحور (d).

    M •                    • M'
      |                    |
      |                    |
      |                    |
    ──┼────────────────────┼── (d)
      |                    |
      |                    |
      |                    |

المحور (d) عمودي على [MM'] ويمر بمنتصفها

⚖️

المحور

المحور (d):
هو مستقيم ثابت يلعب دور "المرآة" في التناظر المحوري.

كل نقطة تقع على المحور هي صورة نفسها

خصائص المحور:
• عمودي على القطعة الواصلة بين كل نقطة وصورتها
• يمر بمنتصف هذه القطعة
• مستقيم ثابت لا يتغير
• محور التماثل للشكل

أمثلة على محاور التماثل:
• المثلث المتقايس الضلعين: الارتفاع من القمة
• المستطيل: محورا التوسط
• الدائرة: أي مستقيم يمر بالمركز
• الحروف: A، B، C، D، H، I، M، O، T، U، V، W، X، Y

              A
             /|\
            / | \
           /  |  \
          /   |   \
         B----+----C
              |
              | ← محور التماثل
              |

المثلث المتقايس الضلعين ومحور تماثله

🔄

الصورة والأصل

العلاقة بين النقطة وصورتها:
إذا كانت M' صورة النقطة M بالتناظر المحوري ذو المحور (d)، فإن:

المحور (d) عمودي على [MM'] ويمر بمنتصفها

الخصائص الأساسية:
• التبادلية: إذا كانت M' صورة M، فإن M صورة M'
• المسافة المتساوية: كل نقطة وصورتها على نفس البعد من المحور
• الارتدادية: صورة الصورة هي الأصل

إذا كانت النقطة تقع على المحور، فهي صورة نفسها

مثال:
النقطة A(2, 3) وصورتها A'(-2, 3) بالنسبة للمحور Oy
• نفس البعد من المحور: |2| = |-2| = 2
• على جانبين متقابلين من المحور

    A(-2,3) •─────────• A(2,3)
            |         |
            |    2    |    2
            |         |
        ────┼─────────┼──── Oy
            |         |
            |         |

النقطة A وصورتها A' بالنسبة للمحور Oy

🔢

الرموز الرياضية

الرموز المستخدمة:

$s_{(d)}$ : التناظر المحوري ذو المحور $(d)$

$M' = s_{(d)}(M)$ : M' صورة M بالتناظر $s_{(d)}$

$s_{(d)} : M \mapsto M'$ : التحويل الذي يقرن M بـ M'

الكتابة بالكلمات:
• "M' صورة M بالتناظر المحوري ذو المحور (d)"
• "النقطة M' متناظرة مع M بالنسبة للمحور (d)"
• "(d) محور متوسط للقطعة [MM']"

الخاصية الأساسية: $(d) \perp [MM']$ و $(d)$ يمر بمنتصف $[MM']$

أمثلة على الاستخدام:
• $A' = s_{\Delta}(A)$ : A' صورة A بالتناظر ذو المحور Δ
• $s_{Ox}(B) = B'$ : صورة B بالتناظر ذو المحور Ox هي B'
• $s_{(d)}(s_{(d)}(M)) = M$ : خاصية الارتدادية

في نظام الإحداثيات:
• التناظر بالنسبة لـ Ox: $(x,y) \mapsto (x,-y)$
• التناظر بالنسبة لـ Oy: $(x,y) \mapsto (-x,y)$
• التناظر بالنسبة لـ $y=x$: $(x,y) \mapsto (y,x)$

نظام الإحداثيات:

    y
    |
    |   • A'(-2,3)    A(2,3) •
    |                     
────┼──────────────────────── x
    |                     
    |   • B'(-1,-2)   B(1,-2) •
    |

التناظر بالنسبة لـ Oy