المدرسة الإعدادية الخاصة: البحرية

استكشاف مفاهيم أعمق في الرياضيات

1
سلسلة تمارين عدد 11 - مادة الرياضيات
2
التمرين الأول

ليكن ABC مثلث قائم الزاوية في A حيث AC = 6cm, AB = 4cm.

B

↕ 4cm

A ←→ 6cm ←→ C

مثلث قائم الزاوية في A

أ) ابن Δ المتوسط العمودي للقطعة [AC] الذي يقطع [BC] في النقطة I و يقطع [AC] في النقطة J

ب) ماذا يمثل المستقيم Δ بالنسبة إلى القطعة [BD]؟

ج) ما هي مناظرة قطعة المستقيم [AB] بالنسبة إلى Δ؟

د) أحسب CD مع التعليل.

الحل التفصيلي:

الجزء (أ) - بناء المتوسط العمودي:

  1. نفتح الفرجار بنصف قطر أكبر من نصف طول AC (أكبر من 3cm)
  2. نرسم قوساً من النقطة A
  3. بنفس نصف القطر، نرسم قوساً من النقطة C
  4. نصل تقاطع القوسين لنحصل على المستقيم Δ

الجزء (ب) - طبيعة المستقيم Δ:

المستقيم Δ هو المتوسط العمودي للقطعة [BD] لأن D هي مناظرة B بالنسبة إلى Δ، وبالتالي Δ يمر بمنتصف [BD] وعمودي عليها.

الجزء (ج) - المناظرة:

مناظرة [AB] هي [CD] لأن مناظرة A هي C ومناظرة B هي D.

الجزء (د) - حساب CD:

  1. حساب طول BC باستخدام نظرية فيثاغورس:
    BC² = AB² + AC² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
    BC = √52 ≈ 7.21cm
  2. بما أن الانعكاس يحافظ على الأطوال: CD = AB = 4cm
3
التمرين الأول
4
التمرين الثاني

لتكن E نقطة من [AB] حيث AE = 5cm.

أ) بين النقطة F مناظرة النقطة E بالنسبة إلى Δ.

ب) بين أن النقاط F، I، C على استقامة واحدة.

الحل التفصيلي:

الجزء (أ) - إيجاد النقطة F:

  1. نرسم عموداً من E على المستقيم Δ
  2. نسمي نقطة التقاطع بين العمود وΔ بالنقطة M
  3. نمد القطعة [EM] بنفس الطول على الجانب الآخر لـΔ
  4. النقطة النهائية هي F بحيث EM = MF

الجزء (ب) - إثبات الاستقامة:

النقاط F، I، C تقع على استقامة واحدة لأن الانعكاس يحافظ على العلاقات الخطية، وبما أن E، I، C كانت على استقامة واحدة (أو مرتبطة خطياً)، فإن مناظراتها F، I، C ستكون كذلك على استقامة واحدة.

5
التمرين الثاني
6
التمرين الثالث

لتكن I نقطة تقاطع Δ و [BC].

أ) ما هي مناظرة النقطة I بالنسبة إلى المستقيم (AC)؟ علل جوابك.

ب) بين النقطة D مناظرة النقطة B بالنسبة إلى (AC).

ج) ما هي مناظرة قطعة المستقيم [BC] بالنسبة إلى المستقيم (AC)؟ علل جوابك.

د) ما هي طبيعة المثلث BCD؟ علل جوابك.

الحل التفصيلي:

الجزء (أ) - مناظرة النقطة I:

مناظرة I بالنسبة إلى (AC) تعتمد على موقع I. إذا كانت I تقع على (AC) فمناظرتها هي I نفسها، وإلا فنجد النقطة المناظرة بالطريقة التقليدية للانعكاس.

الجزء (ب) - إيجاد النقطة D:

  1. نرسم عموداً من B على (AC)
  2. نسمي نقطة التقاطع P
  3. نمد [BP] بنفس الطول على الجانب الآخر لـ(AC)
  4. النقطة النهائية هي D بحيث BP = PD

الجزء (ج) - مناظرة القطعة [BC]:

مناظرة [BC] بالنسبة إلى (AC) هي [DC] لأن مناظرة B هي D ومناظرة C هي C نفسها (تقع على محور الانعكاس).

الجزء (د) - طبيعة المثلث BCD:

المثلث BCD هو مثلث متقايس الضلعين في C لأن الانعكاس يحافظ على الأطوال، وبالتالي CB = CD.

7
التمرين الثالث
8
التمرين الرابع

أ) بين النقطة E مناظرة النقطة I بالنسبة إلى (AC).

ب) بين أن النقاط C و D على استقامة واحدة.

الحل التفصيلي:

الجزء (أ) - إيجاد النقطة E:

  1. نرسم عموداً من I على (AC)
  2. نسمي نقطة التقاطع Q
  3. نمد [IQ] بنفس الطول على الجانب الآخر لـ(AC)
  4. النقطة النهائية هي E بحيث IQ = QE

الجزء (ب) - إثبات الاستقامة:

النقاط B، C، D تقع على استقامة واحدة لأن:

  • D هي مناظرة B بالنسبة إلى (AC)
  • C تقع على محور الانعكاس (AC)
  • الانعكاس يحافظ على الزوايا والاستقامة
  • بالتالي إذا كانت الزاوية ∠BCA = 180° فإن ∠DCA = 180° أيضاً
9
التمرين الرابع