ضرب الأعداد الصحيحة النسبية - التفكيك والنشر

القاعدة: ضرب عددين موجبين
المثال: البرهان العملي:
1. نتخيل $5$ مجموعات، كل مجموعة تحتوي $3$ عناصر موجبة
2. إجمالي العناصر = $5 \times 3 = 15$ عنصراً موجباً
3. النتيجة موجبة ✓

البرهان الجبري: العددان موجبان، فضربهما يعطي عدداً موجباً دائماً
أمثلة أخرى: $(+7) \times (+4) = +28$، $(+12) \times (+2) = +24$

القاعدة: ضرب عدد موجب في عدد سالب
المثال: البرهان بالمعنى:
1. نأخذ $6$ مرات العدد $-4$
2. $(-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) = -24$
3. النتيجة سالبة ✓

البرهان بالتوزيع:
$(+6) \times (-4) = (+6) \times [0 + (-4)] = (+6) \times 0 + (+6) \times (-4) = 0 + (-24) = -24$

قاعدة الإشارات: موجب × سالب = سالب

القاعدة: ضرب عدد سالب في عدد موجب
المثال: البرهان بالخاصية التبديلية:
1. نعلم أن $(-5) \times (+7) = (+7) \times (-5)$ (خاصية تبديلية)
2. وقد أثبتنا أن $(+7) \times (-5) = -35$
3. إذن $(-5) \times (+7) = -35$ ✓

البرهان بالجمع المتكرر:
$(-5) \times (+7) = (-5) + (-5) + (-5) + (-5) + (-5) + (-5) + (-5) = -35$

النتيجة: ترتيب العوامل لا يؤثر على إشارة النتيجة

القاعدة: ضرب عددين سالبين
المثال: البرهان بالتوزيع:
1. نعلم أن $(-6) \times [(-3) + (+3)] = (-6) \times 0 = 0$
2. بالتوزيع: $(-6) \times (-3) + (-6) \times (+3) = 0$
3. نعلم أن $(-6) \times (+3) = -18$
4. إذن: $(-6) \times (-3) + (-18) = 0$
5. وبالتالي: $(-6) \times (-3) = +18$ ✓

القاعدة الذهبية: سالب × سالب = موجب
مثال آخر: $(-8) \times (-5) = +40$

خصائص الضرب في الصفر:

1. أي عدد × صفر = صفر مثال: $(+5) \times 0 = 0$، $(-3) \times 0 = 0$

2. صفر × أي عدد = صفر مثال: $0 \times (+7) = 0$، $0 \times (-9) = 0$

البرهان:
1. نعلم أن $0 = 0 + 0$
2. إذن: $a \times 0 = a \times (0 + 0) = a \times 0 + a \times 0$
3. هذا يعني: $a \times 0 = 2 \times (a \times 0)$
4. هذا ممكن فقط إذا كان $a \times 0 = 0$ ✓

خاصية مهمة: إذا كان $a \times b = 0$ فإن $a = 0$ أو $b = 0$ (أو كليهما)

العنصر المحايد للضرب: أمثلة:
- $(+8) \times 1 = +8$
- $(-5) \times 1 = -5$
- $1 \times (+12) = +12$
- $1 \times (-7) = -7$

البرهان: الرقم $1$ هو العدد الوحيد الذي لا يغير قيمة أي عدد عند ضربه به

خاصية الضرب في $-1$: مثال: $(+6) \times (-1) = -6$، $(-4) \times (-1) = +4$

النتيجة: الضرب في $-1$ يغير إشارة العدد

جدول الإشارات الكامل:

×	موجب (+)	سالب (-)
موجب (+)	موجب (+)	سالب (-)
سالب (-)	سالب (-)	موجب (+)

القواعد الذهبية:
1. **إشارات متشابهة** → النتيجة **موجبة**
2. **إشارات مختلفة** → النتيجة **سالبة**

أمثلة تطبيقية:
- $(+4) \times (+3) = +12$ (متشابهة → موجب)
- $(+5) \times (-2) = -10$ (مختلفة → سالب)
- $(-6) \times (+4) = -24$ (مختلفة → سالب)
- $(-7) \times (-3) = +21$ (متشابهة → موجب)

قاعدة إشارة الجداء: إشارة الجداء تعتمد على عدد العوامل السالبة

الحالات:
1. **عدد زوجي من العوامل السالبة** → النتيجة **موجبة**
2. **عدد فردي من العوامل السالبة** → النتيجة **سالبة**

أمثلة:
- عدد العوامل السالبة: $3$ (فردي)
- إذن النتيجة سالبة: $-(2 \times 3 \times 4) = -24$ ✓

- عدد العوامل السالبة: $4$ (زوجي)
- إذن النتيجة موجبة: $+(1 \times 2 \times 3 \times 4) = +24$ ✓

البرهان خطوة بخطوة:
$(-2) \times (-3) \times (-4)$
$= [(−2) \times (−3)] \times (−4)$
$= (+6) \times (−4) = −24$ ✓

الخاصية التبديلية للضرب: المثال: البرهان بالحساب:
- الطرف الأيسر: $(-5) \times (+3) = -15$
- الطرف الأيمن: $(+3) \times (-5) = -15$
- النتيجة واحدة في الحالتين ✓

الفائدة: يمكن ترتيب العوامل بأي شكل يسهل الحساب
مثال آخر: $(-8) \times (+2) = (+2) \times (-8) = -16$

الخاصية التجميعية للضرب: المثال: البرهان بالحساب:
الطرف الأيسر: $[(-2) \times (+4)] \times (-3) = (-8) \times (-3) = +24$
الطرف الأيمن: $(-2) \times [(+4) \times (-3)] = (-2) \times (-12) = +24$
إذن: $+24 = +24$ ✓

الفائدة: يمكن تغيير ترتيب الأقواس لتسهيل الحساب
نصيحة: اجمع العوامل ذات الإشارات المتشابهة معاً أولاً

الخاصية التوزيعية على الجمع: المثال: البرهان:
الطرف الأيسر: $(-3) \times [(+5) + (-2)] = (-3) \times (+3) = -9$
الطرف الأيمن: $(-3) \times (+5) + (-3) \times (-2) = (-15) + (+6) = -9$
إذن: $-9 = -9$ ✓

التطبيق العملي: هذه الخاصية أساس عمليتي النشر والتفكيك

الخاصية التوزيعية على الطرح: المثال: البرهان:
الطرف الأيسر: $(+6) \times [(+8) - (+3)] = (+6) \times (+5) = +30$
الطرف الأيمن: $(+6) \times (+8) - (+6) \times (+3) = (+48) - (+18) = +30$
إذن: $+30 = +30$ ✓

مثال بالإشارات: $(-2) \times (5 - 8) = (-2) \times 5 - (-2) \times 8 = -10 - (-16) = -10 + 16 = 6$

مبدأ العامل المشترك: المثال: فكك $6x + 9$ خطوات الإثبات:
1. **تحديد العامل المشترك:** القاسم المشترك الأكبر لـ $6$ و $9$ هو $3$
2. **إخراج العامل:** $6x = 3 \times 2x$ و $9 = 3 \times 3$
3. **التفكيك:** $6x + 9 = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 3(2x + 3)$

التحقق بالنشر: $3(2x + 3) = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 6x + 9$ ✓

أمثلة أخرى:
- $12a + 8 = 4(3a + 2)$
- $15y - 10 = 5(3y - 2)$
- $-6m + 9 = -3(2m - 3)$ أو $3(-2m + 3)$

العامل المشترك المركب: عندما يكون العامل المشترك تعبيراً جبرياً

المثال: فكك $x(a + b) + y(a + b)$ خطوات الحل:
1. **تحديد العامل المشترك:** التعبير $(a + b)$ موجود في الحدين
2. **إخراج العامل:** نخرج $(a + b)$ ونضع ما تبقى في قوس جديد
3. **التفكيك:** $(a + b)(x + y)$

مثال عملي: مثال أكثر تعقيداً: $2a(x + 1) - 3b(x + 1) = (x + 1)(2a - 3b)$

التفكيك بالتجميع: عندما لا يوجد عامل مشترك بين كل الحدود، نجمع الحدود في مجموعات

المثال: فكك $ax + bx + ay + by$ خطوات الحل:
1. **التجميع:** $(ax + bx) + (ay + by)$
2. **إخراج العامل من كل مجموعة:** $x(a + b) + y(a + b)$
3. **إخراج العامل المشترك النهائي:** $(a + b)(x + y)$

مثال عددي: فكك $6x + 9 + 4xy + 6y$ 1. التجميع: $(6x + 9) + (4xy + 6y)$
2. التفكيك: $3(2x + 3) + 2y(2x + 3)$
3. النتيجة: $(2x + 3)(3 + 2y)$

طرق التحقق من صحة التفكيك:

الطريقة الأولى: النشر
نشر التفكيك يجب أن يعطي التعبير الأصلي
مثال: تحقق من $12x + 16 = 4(3x + 4)$
النشر: $4(3x + 4) = 4 \times 3x + 4 \times 4 = 12x + 16$ ✓

الطريقة الثانية: التعويض
نعوض بقيم عددية للمتغيرات
مثال: تحقق من $x(x + 3) = x^2 + 3x$ بالتعويض $x = 2$
- التعبير الأصلي: $(2)^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10$
- التفكيك: $2(2 + 3) = 2 \times 5 = 10$ ✓

قاعدة ذهبية: إذا لم يكن النشر يعطي التعبير الأصلي، فالتفكيك خاطئ

تفكيك فرق المربعين (جذاء معتبر): البرهان العكسي (بالنشر):
$(a - b)(a + b) = a(a+b) - b(a+b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2$ ✓

خطوات الحل:
1. تأكد أن التعبير هو فرق (علامة طرح) بين كميتين مربعتين.
2. حدد $a$ و $b$ (جذور الكميات المربعة).
3. طبق القاعدة.

أمثلة:
- فكك $x^2 - 9$: هنا $a=x$ و $b=3$. إذن $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
- فكك $4y^2 - 25$: هنا $a=2y$ و $b=5$. إذن $4y^2 - 25 = (2y - 5)(2y + 5)$.
- فكك $16 - z^2$: هنا $a=4$ و $b=z$. إذن $16 - z^2 = (4 - z)(4 + z)$.

النشر البسيط (التوزيع): المثال: انشر $(-3)(2x + 5)$ أمثلة أخرى:
- $4(x - 3) = 4x - 12$
- $(-2)(3a + 7) = -6a - 14$
- $x(x + 1) = x^2 + x$

النشر المزدوج (FOIL): المثال: انشر $(2x + 3)(x - 1)$

خطوات الحل:
1. **الحد الأول × القوس الثاني:** $2x(x - 1) = 2x^2 - 2x$
2. **الحد الثاني × القوس الثاني:** $3(x - 1) = 3x - 3$
3. **جمع النتائج:** $2x^2 - 2x + 3x - 3$
4. **التبسيط:** $2x^2 + x - 3$

باستخدام FOIL:
- **F**irst: $(2x)(x) = 2x^2$
- **O**uter: $(2x)(-1) = -2x$
- **I**nner: $(3)(x) = 3x$
- **L**ast: $(3)(-1) = -3$
النتيجة: $2x^2 - 2x + 3x - 3 = 2x^2 + x - 3$

قواعد إزالة الأقواس:

الحالة الأولى: علامة موجبة (+) قبل القوس
تبقى الإشارات داخل القوس كما هي.

الحالة الثانية: علامة سالبة (-) قبل القوس
تُعكس جميع الإشارات داخل القوس.
البرهان: علامة الطرح تعادل الضرب في $-1$.
$-(4x - 2) = -1 \times (4x - 2) = (-1)(4x) + (-1)(-2) = -4x + 2$ ✓

أمثلة:
- $a + (b - c) = a + b - c$
- $a - (b + c) = a - b - c$
- $a - (b - c) = a - b + c$

نشر مربع مجموع: البرهان (بالنشر المزدوج):
$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$
$= a(a+b) + b(a+b)$
$= a^2 + ab + ba + b^2$
$= a^2 + 2ab + b^2$ ✓

أمثلة:
- $(x+3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + 3^2 = x^2 + 6x + 9$
- $(2y+1)^2 = (2y)^2 + 2(2y)(1) + 1^2 = 4y^2 + 4y + 1$
- $(-z+5)^2 = (-z)^2 + 2(-z)(5) + 5^2 = z^2 - 10z + 25$

نشر مربع فرق: البرهان (بالنشر المزدوج):
$(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$
$= a(a-b) - b(a-b)$
$= a^2 - ab - ba + b^2$
$= a^2 - 2ab + b^2$ ✓

أمثلة:
- $(x-5)^2 = x^2 - 2(x)(5) + 5^2 = x^2 - 10x + 25$
- $(3z-2)^2 = (3z)^2 - 2(3z)(2) + 2^2 = 9z^2 - 12z + 4$
- $(-y-4)^2 = (-(y+4))^2 = (y+4)^2 = y^2 + 8y + 16$