المبدأ دليل القوةاسي: نستخدم التحليل إلى العوامل والعامل المشترك الأكبر
خطوات الحل:
• إعادة كتابة كل دليل القوةس بدلالة الأعداد الأولية
• إخراج العامل المشترك (الحد الذي له أصغر دليل القوة)
• تحليل المقسوم عليه إلى عوامل أولية
• التحقق من القسمة على كل عامل أولي منفصلاً
للعدد 3: $3^2 = 9$، $3^3 = 27$، $3^4 = 81$
للعدد 9: $9^n = (3^2)^n = 3^{2n}$
للعدد 7: $7^2 = 49$، $7^3 = 343$
للعدد 49: $49^n = (7^2)^n = 7^{2n}$
للعدد 125: $125^n = (5^3)^n = 5^{3n}$
للأعداد الزوجية: $8 = 2^3$، $4 = 2^2$
• حلل العدد المطلوب القسمة عليه إلى عوامل أولية
• أعد كتابة كل دليل القوةس بدلالة الأعداد الأولية
• أخرج العامل المشترك (دليل القوة الأصغر)
• تحقق من القسمة على كل عامل أولي منفصلاً
• استخدم خواص القوى والتحليل المباشر
بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 15:
لإثبات القسمة على 15، نحتاج لإثبات القسمة على 3 وعلى 5 معاً، لأن $15 = 3 \times 5$ وهما عددان أوليان متبادلان. ابحث عن العامل المشترك بين الحدين.
نحلل $15 = 3 \times 5$. أخرج العامل المشترك $3^{2013}$ من الحدين.
$3^{2013} + 3^{2015} = 3^{2013}(1 + 3^2) = 3^{2013} \times 10$
بما أن $10 = 2 \times 5$، نحصل على $3^{2013} \times 2 \times 5$
الخطوة 1: التحليل دليل القوةاسي
$15 = 3 \times 5$ حيث $3$ و $5$ عددان أوليان متبادلان
العامل المشترك هو $3^{2013}$ (دليل القوة الأصغر)
$3^{2013} + 3^{2015} = 3^{2013}(1 + 3^2)$
$= 3^{2013}(1 + 9)$
$= 3^{2013} \times 10$
$= 3^{2013} \times 2 \times 5$
الخطوة 2: التحقق من القسمة على 3
التعبير يحتوي على العامل $3^{2013}$، إذن يقبل القسمة على 3 بوضوح ✓
الخطوة 3: التحقق من القسمة على 5
التعبير يحتوي على العامل 5، إذن يقبل القسمة على 5 بوضوح ✓
النتيجة: بما أن العدد يقبل القسمة على 3 وعلى 5، فإنه يقبل القسمة على $15 = 3 \times 5$. ✓
بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 15:
لاحظ أن $9 = 3^2$، لذا $9^{1020} = (3^2)^{1020} = 3^{2040}$. يصبح التعبير $3^{2038} + 3^{2040}$. ابحث عن العامل المشترك.
نعيد كتابة التعبير: $3^{2038} + 9^{1020} = 3^{2038} + 3^{2040}$
نخرج العامل المشترك $3^{2038}$: $3^{2038}(1 + 3^2) = 3^{2038} \times 10$
نطبق نفس طريقة التمرين السابق.
الخطوة 1: إعادة كتابة التعبير
$9^{1020} = (3^2)^{1020} = 3^{2040}$
إذن التعبير يصبح: $3^{2038} + 3^{2040}$
العامل المشترك هو $3^{2038}$ (دليل القوة الأصغر)
$3^{2038} + 3^{2040} = 3^{2038}(1 + 3^2)$
$= 3^{2038}(1 + 9)$
$= 3^{2038} \times 10$
$= 3^{2038} \times 2 \times 5$
الخطوة 2: التحقق من القسمة على 3
التعبير يحتوي على العامل $3^{2038}$، إذن يقبل القسمة على 3 ✓
الخطوة 3: التحقق من القسمة على 5
التعبير يحتوي على العامل 5، إذن يقبل القسمة على 5 ✓
النتيجة: العدد يقبل القسمة على 15. ✓
بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 48:
$48 = 16 \times 3 = 2^4 \times 3$ و $9 = 3^2$. أعد كتابة التعبير بدلالة قوى العدد 3 وأخرج العامل المشترك.
نعيد كتابة: $3^{204} + 9^{100} = 3^{204} + 3^{200}$
نخرج العامل المشترك: $3^{200}(3^4 + 1) = 3^{200} \times 82$
نحلل $82 = 2 \times 41$ و $48 = 2^4 \times 3$
الخطوة 1: إعادة كتابة وتحليل
$9^{100} = 3^{200}$، إذن التعبير: $3^{204} + 3^{200}$
تحليل المقسوم عليه: $48 = 2^4 \times 3$
العامل المشترك هو $3^{200}$ (دليل القوة الأصغر)
$3^{204} + 3^{200} = 3^{200}(3^4 + 1)$
$= 3^{200}(81 + 1)$
$= 3^{200} \times 82$
$= 3^{200} \times 2 \times 41$
الخطوة 2: التحقق من القسمة على $2^4 = 16$
نحتاج للتحقق من أن $3^{200} \times 2 \times 41$ يقبل القسمة على 16
$3 = 4 - 1$، إذن $3^{200} = (4-1)^{200}$
بالتطوير: $(4-1)^{200} = \sum_{k=0}^{200} \binom{200}{k} 4^k (-1)^{200-k}$
لكل $k \geq 2$: $4^k$ يحتوي على $4^2 = 16$ كعامل
الحدود المتبقية: $\binom{200}{0}(-1)^{200} + \binom{200}{1}4(-1)^{199} = 1 - 800 = -799$
إذن $3^{200} = 16m - 799$ لعدد صحيح $m$
$3^{200} \times 82 = (16m - 799) \times 82 = 16 \times 82m - 799 \times 82$
$799 \times 82 = 65518 = 16 \times 4094 + 14$
إذن $3^{200} \times 82 = 16(82m - 4094) - 14$ ✗
تصحيح: دعني أعيد النظر في المسألة. ربما العدد 48 غير صحيح.
بديل صحيح: لنختر $30 = 2 \times 3 \times 5$
$3^{200} \times 82 = 3^{200} \times 2 \times 41$
يقبل القسمة على 2 و 3، لكن ليس على 5 أو 16
الخلاصة: هناك خطأ في صياغة المسألة الأصلية.
بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 11:
$125 = 5^3$، لذا $125^{111} = 5^{333}$. أخرج العامل المشترك $5^{333}$ واحسب القيمة داخل الأقواس.
نعيد كتابة: $7 \times 5^{333} + 5^{336}$
نخرج العامل المشترك: $5^{333}(7 + 5^3) = 5^{333}(7 + 125) = 5^{333} \times 132$
نحلل: $132 = 12 \times 11$
الخطوة 1: إعادة كتابة التعبير
$125^{111} = (5^3)^{111} = 5^{333}$
التعبير يصبح: $7 \times 5^{333} + 5^{336}$
العامل المشترك هو $5^{333}$ (دليل القوة الأصغر)
$7 \times 5^{333} + 5^{336} = 5^{333}(7 + 5^3)$
$= 5^{333}(7 + 125)$
$= 5^{333} \times 132$
الخطوة 2: تحليل العدد 132
$132 = 4 \times 33 = 4 \times 3 \times 11 = 12 \times 11$
الخطوة 3: التحقق من القسمة على 11
بما أن التعبير يحتوي على العامل 11، فإن:
$5^{333} \times 132 = 5^{333} \times 12 \times 11 = 11 \times (5^{333} \times 12)$
النتيجة: العدد يقبل القسمة على 11 بشكل مباشر. ✓
بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 34:
$34 = 2 \times 17$ و $49 = 7^2$. أعد كتابة التعبير بدلالة قوى العدد 7 فقط وأخرج العامل المشترك.
$49^{60} = (7^2)^{60} = 7^{120}$
التعبير: $2 \times 7^{121} + 3 \times 7^{120} = 7^{120}(2 \times 7 + 3) = 7^{120} \times 17$
نحتاج لإثبات أن $7^{120} \times 17$ يقبل القسمة على $34 = 2 \times 17$.
الخطوة 1: إعادة كتابة التعبير
$49^{60} = (7^2)^{60} = 7^{120}$
التعبير: $2 \times 7^{121} + 3 \times 7^{120}$
العامل المشترك هو $7^{120}$ (دليل القوة الأصغر)
$2 \times 7^{121} + 3 \times 7^{120} = 7^{120}(2 \times 7 + 3)$
$= 7^{120}(14 + 3)$
$= 7^{120} \times 17$
الخطوة 2: التحليل
$34 = 2 \times 17$ حيث $2$ و $17$ عددان أوليان متبادلان
الخطوة 3: التحقق من القسمة على 17
التعبير يحتوي على العامل 17، إذن يقبل القسمة على 17 ✓
الخطوة 4: التحقق من القسمة على 2
$7$ عدد فردي، إذن $7^{120}$ عدد فردي
$7^{120} \times 17$ = (عدد فردي) × (عدد فردي) = عدد فردي
إذن التعبير لا يقبل القسمة على 2 ✗
تصحيح المسألة: لنغير المسألة لتصبح القسمة على 17:
العدد $2 \times 7^{121} + 3 \times 49^{60} = 7^{120} \times 17$ يقبل القسمة على 17 بشكل مباشر ✓
بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 60:
$60 = 4 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$، $8 = 2^3$، $4 = 2^2$. أعد كتابة كل شيء بدلالة قوى العدد 2 وأخرج العامل المشترك.
$8^{1005} = 2^{3015}$، $4^{1506} = 2^{3012}$
التعبير: $3 \times 2^{3015} + 2^{3012} + 2^{3014}$
نخرج العامل المشترك $2^{3012}$
الخطوة 1: إعادة كتابة التعبير
$8^{1005} = 2^{3015}$، $4^{1506} = 2^{3012}$
التعبير: $3 \times 2^{3015} + 2^{3012} + 2^{3014}$
العامل المشترك هو $2^{3012}$ (دليل القوة الأصغر)
$3 \times 2^{3015} + 2^{3012} + 2^{3014}$
$= 2^{3012}(3 \times 2^3 + 1 + 2^2)$
$= 2^{3012}(3 \times 8 + 1 + 4)$
$= 2^{3012}(24 + 1 + 4)$
$= 2^{3012} \times 29$
الخطوة 2: تحليل المقسوم عليه
$60 = 4 \times 15 = 4 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$
الخطوة 3: التحقق من القسمة على $2^2 = 4$
$2^{3012} = (2^2)^{1506} = 4^{1506}$ يقبل القسمة على 4 ✓
الخطوة 4: التحقق من القسمة على 3
نحتاج للتحقق من أن $29$ يقبل القسمة على 3
$29 = 27 + 2 = 9 \times 3 + 2$، إذن $29$ لا يقبل القسمة على 3 ✗
تصحيح المسألة: لنغير المعاملات:
لو كان التعبير $6 \times 8^{1005} + 4^{1506} + 2^{3014}$:
$= 2^{3012}(6 \times 8 + 1 + 4) = 2^{3012}(48 + 1 + 4) = 2^{3012} \times 53$
لا يعمل أيضاً. المسألة الأصلية تحتاج لإعادة صياغة.
بديل صحيح: $12 \times 8^{1005} + 3 \times 4^{1506} + 6 \times 2^{3014}$
$= 2^{3012}(12 \times 8 + 3 \times 1 + 6 \times 4) = 2^{3012}(96 + 3 + 24) = 2^{3012} \times 123$
$123 = 3 \times 41$، لا يحتوي على 5