تمارين قابلية القسمة

من الصفحة 22 في الملف:

• عدد يقبل القسمة على 2 إذا كان زوجيًا (رقم الآحاد 0، 2، 4، 6، 8)
• عدد يقبل القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3

الحل: 525252 (زوجي ومجموع أرقامه 2+5+2+5+2+5 = 21 يقبل القسمة على 3)

من الصفحة 22:

• 26523 (مجموع الأرقام: 2+6+5+2+3 = 18 يقبل القسمة على 3)
• 525252 (مجموع الأرقام: 21 يقبل القسمة على 3)

من الصفحة 24:

• عدد يقبل القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من آخر رقمين يقبل القسمة على 4
• 525252 (52 ÷ 4 = 13، ومجموع الأرقام 21 يقبل القسمة على 3)

من الصفحة 25:

• للقسمة على 5: يجب أن ينتهي العدد بـ 0 أو 5 ⇒ y ∈ {0,5}
• للقسمة على 3: مجموع الأرقام يجب أن يقبل القسمة على 3

الحلول الممكنة:

• 3420 (3+4+2+0=9)
• 3450 (3+4+5+0=12)
• 3480 (3+4+8+0=15)
• 3405 (3+4+0+5=12)
• 3435 (3+4+3+5=15)
• 3465 (3+4+6+5=18)
• 3495 (3+4+9+5=21)

من الصفحة 25:

• للقسمة على 5: y ∈ {0,5}
• للقسمة على 9: مجموع الأرقام يجب أن يقبل القسمة على 9

الحلول الممكنة:

• 3420 (3+4+2+0=9)
• 3465 (3+4+6+5=18)

من الصفحة 25:

• للقسمة على 25: يجب أن ينتهي العدد بـ 00، 25، 50 أو 75
• للقسمة على 3: مجموع الأرقام يجب أن يقبل القسمة على 3

الحلول الممكنة:

• 3450 (3+4+5+0=12)

من الصفحة 24:

عدد يقبل القسمة على 8 إذا كان العدد المكون من آخر 3 أرقام يقبل القسمة على 8

• 32085: 085 ÷ 8 = 10.625 ← لا يقبل
• 4098721: 721 ÷ 8 = 90.125 ← لا يقبل
• 78456: 456 ÷ 8 = 57 ← يقبل القسمة
• 65400: 400 ÷ 8 = 50 ← يقبل القسمة
• 100170: 170 ÷ 8 = 21.25 ← لا يقبل

الأعداد التي تقبل القسمة على 8: 78456 ، 65400

من الصفحة 40 (خاصية توزيع الضرب):

2¹⁸ - 2¹⁵ = 2¹⁵(2³ - 1) = 2¹⁵ × 7

بما أن العدد يحتوي على 7 كعامل، فهو يقبل القسمة على 7

من الصفحة 28:

في أي ثلاثة أعداد صحيحة متتالية، يوجد دائماً عدد واحد على الأقل يقبل القسمة على 3

لذلك، جداء هذه الأعداد الثلاثة سيقبل القسمة على 3

ليكون العدد قابلاً للقسمة على 15، يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 3 و 5.

العدد هو A = 3²⁰¹⁵ + 3²⁰¹³.

• القسمة على 3: كلا الحدين (3²⁰¹⁵ و 3²⁰¹³) هما من قوى العدد 3، وبالتالي يقبلان القسمة على 3. مجموعهما يقبل القسمة على 3.
• القسمة على 5: نقوم بالتعميل بأصغر دليل القوة (3²⁰¹³):
  A = 3²⁰¹³ (3² + 1) = 3²⁰¹³ (9 + 1) = 3²⁰¹³ × 10
  بما أن 10 = 2 × 5، فإن A = 3²⁰¹³ × 2 × 5. العدد A يحتوي على العامل 5، إذن هو قابل للقسمة على 5.

الخلاصة: بما أن العدد قابل للقسمة على 3 و 5، فهو قابل للقسمة على 15.

العدد هو B = 9¹⁰²⁰ + 3²⁰³⁸. نوحد دليل القوةاسات إلى 3 (9 = 3²):
9¹⁰²⁰ = (3²)¹⁰²⁰ = 3²⁰⁴⁰
إذن B = 3²⁰⁴⁰ + 3²⁰³⁸.

• القسمة على 3: كلا الحدين من قوى العدد 3، فمجموعهما يقبل القسمة على 3.
• القسمة على 5: نقوم بالتعميل بأصغر دليل القوة (3²⁰³⁸):
  B = 3²⁰³⁸ (3² + 1) = 3²⁰³⁸ (9 + 1) = 3²⁰³⁸ × 10
  بما أن 10 من مضاعفات 5، فإن العدد B قابل للقسمة على 5.

الخلاصة: بما أن العدد قابل للقسمة على 3 و 5، فهو قابل للقسمة على 15.

ليكون العدد قابلاً للقسمة على 42، يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 2، 3، و 7.

العدد هو C = 9¹⁰⁰ + 3²⁰⁴. نوحد دليل القوةاسات: C = (3²)¹⁰⁰ + 3²⁰⁴ = 3²⁰⁰ + 3²⁰⁴.

نقوم بالتعميل: C = 3²⁰⁰ (1 + 3⁴) = 3²⁰⁰ (1 + 81) = 3²⁰⁰ × 82 = 3²⁰⁰ × 2 × 41.

• القسمة على 2: نعم، لأنه يوجد العامل 2.
• القسمة على 3: نعم، لأنه يوجد العامل 3²⁰⁰.
• القسمة على 7: لا. العوامل الأولية للعدد C هي 2، 3، و 41. لا يوجد العامل 7.

الخلاصة: العدد C قابل للقسمة على 6 (لأنه يقبل القسمة على 2 و 3) ولكنه غير قابل للقسمة على 7. وبالتالي، فهو غير قابل للقسمة على 42. (يوجد خطأ في نص التمرين).

العدد هو D = 5³³⁶ + 7 × 125¹¹¹. نوحد دليل القوةاسات إلى 5 (125 = 5³):
D = 5³³⁶ + 7 × (5³)¹¹¹ = 5³³⁶ + 7 × 5³³³.

نقوم بالتعميل بأصغر دليل القوة (5³³³):
D = 5³³³ (5³ + 7) = 5³³³ (125 + 7) = 5³³³ × 132.

نختبر قابلية 132 للقسمة على 11: 132 ÷ 11 = 12. إذن 132 = 12 × 11.

يصبح العدد D = 5³³³ × 12 × 11.

الخلاصة: بما أن 11 هو عامل في جداء D، فإن العدد D قابل للقسمة على 11.

ليكون العدد قابلاً للقسمة على 51، يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 3 و 17.

العدد هو E = 2 × 7¹²¹ + 3 × 49⁶⁰. نوحد دليل القوةاسات (49 = 7²):
E = 2 × 7¹²¹ + 3 × (7²)⁶⁰ = 2 × 7¹²¹ + 3 × 7¹²⁰.

نقوم بالتعميل: E = 7¹²⁰ (2 × 7 + 3) = 7¹²⁰ (14 + 3) = 7¹²⁰ × 17.

• القسمة على 17: نعم، لأنه يوجد العامل 17.
• القسمة على 3: نختبر قابلية القسمة على 3. 7 ≡ 1 (mod 3)، إذن 7¹²⁰ ≡ 1¹²⁰ ≡ 1 (mod 3). و 17 ≡ 2 (mod 3). إذن E ≡ 1 × 2 ≡ 2 (mod 3). العدد غير قابل للقسمة على 3.

الخلاصة: العدد E قابل للقسمة على 17 ولكنه غير قابل للقسمة على 3. وبالتالي، فهو غير قابل للقسمة على 51. (يوجد خطأ في نص التمرين).

ليكون العدد قابلاً للقسمة على 44، يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 4 و 11.

العدد هو F = 2³⁰¹⁴ + 4¹⁵⁰⁶ + 3 × 8¹⁰⁰⁵. نوحد دليل القوةاسات إلى 2:
F = 2³⁰¹⁴ + (2²)¹⁵⁰⁶ + 3 × (2³)¹⁰⁰⁵ = 2³⁰¹⁴ + 2³⁰¹² + 3 × 2³⁰¹⁵.

نقوم بالتعميل بأصغر دليل القوة (2³⁰¹²):
F = 2³⁰¹² (2² + 1 + 3 × 2³) = 2³⁰¹² (4 + 1 + 3 × 8) = 2³⁰¹² (5 + 24) = 2³⁰¹² × 29.

• القسمة على 4: نعم، لأن العامل 2³⁰¹² هو من مضاعفات 2²=4.
• القسمة على 11: لا. العوامل الأولية للعدد F هي 2 و 29. لا يوجد العامل 11.

الخلاصة: العدد F قابل للقسمة على 4 ولكنه غير قابل للقسمة على 11. وبالتالي، فهو غير قابل للقسمة على 44. (يوجد خطأ في نص التمرين).