الفكرة: لمقارنة عبارتين، ندرس إشارة فرقهما.
الخطوة 1: نحسب الفرق \( (a+b)^2 - 4ab \).
الخطوة 2: ننشر القوس \( (a+b)^2 \) الذي هو متطابقة هامة.
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
الخطوة 3: نعوض في الفرق.
\( (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 \).
الخطوة 4: نلاحظ أن النتيجة هي متطابقة هامة أخرى.
\( a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \).
الخطوة 5: مربع أي عدد حقيقي هو دائماً موجب أو يساوي الصفر. إذن \( (a-b)^2 \ge 0 \).
هذا يعني أن الفرق الذي بدأنا به موجب أو يساوي الصفر: \( (a+b)^2 - 4ab \ge 0 \).
بإضافة 4ab إلى الطرفين، نحصل على \( (a+b)^2 \ge 4ab \).
الإجابة الصحيحة هي ب.
| عدد الاخوة | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| التكرار التراكمي النازل | 120 | 115 | 95 | 65 | 20 |
الفكرة: "الموسط" يعني الوسيط. لإيجاد الوسيط، نحتاج إلى التكرارات (عدد التلاميذ لكل قيمة) والتكرار الجملي.
الخطوة 1: استنتاج التكرارات من التكرار التراكمي النازل.
- عدد التلاميذ الذين لديهم 4 إخوة = 20.
- عدد التلاميذ الذين لديهم 3 إخوة = 65 - 20 = 45.
- عدد التلاميذ الذين لديهم 2 إخوة = 95 - 65 = 30.
- عدد التلاميذ الذين لديهم 1 أخ = 115 - 95 = 20.
- عدد التلاميذ الذين ليس لديهم إخوة (0) = 120 - 115 = 5.
الخطوة 2: حساب التكرار الجملي (مجموع التلاميذ).
التكرار الجملي هو أول قيمة في التكرار التراكمي النازل، أي N = 120.
الخطوة 3: تحديد رتبة الوسيط.
رتبة الوسيط = \( \frac{N}{2} = \frac{120}{2} = 60 \). بما أن N عدد زوجي، الوسيط هو قيمة الفرد رقم 60.
الخطوة 4: استخدام التكرار التراكمي الصاعد لتحديد قيمة الوسيط.
- عدد التلاميذ الذين لديهم 0 إخوة: 5.
- عدد التلاميذ الذين لديهم 0 أو 1 أخ: 5 + 20 = 25.
- عدد التلاميذ الذين لديهم 0 أو 1 أو 2 إخوة: 25 + 30 = 55.
- عدد التلاميذ الذين لديهم 0 أو 1 أو 2 أو 3 إخوة: 55 + 45 = 100.
الفرد رقم 60 يقع في فئة "3 إخوة" (لأن 55 < 60 ≤ 100). إذن الوسيط هو 3.
الإجابة الصحيحة هي ج.
الفكرة: مركز الثقل (نقطة تلاقي المتوسطات) له خاصية مميزة تتعلق بالمساحات.
الخاصية: مركز الثقل G في مثلث ABC يقسمه إلى ثلاثة مثلثات لها نفس المساحة: \( \text{مساحة}(GAB) = \text{مساحة}(GBC) = \text{مساحة}(GCA) \).
الاستنتاج: بما أن هذه المساحات الثلاث متساوية وتغطي المثلث ABC بالكامل، فإن مساحة كل واحدة منها هي ثلث المساحة الكلية.
\( \text{مساحة}(ABC) = \text{مساحة}(GAB) + \text{مساحة}(GBC) + \text{مساحة}(GCA) = 3 \times \text{مساحة}(GBC) \).
إذن، \( \text{مساحة}(GBC) = \frac{1}{3} \text{مساحة}(ABC) \).
الإجابة الصحيحة هي ب.
الفكرة: نبسط العدد أولاً بأخذ العامل المشترك الأصغر قوة.
الخطوة 1: التبسيط.
\( 3^{105} - 3^{103} = 3^{103} \times (3^2 - 1) = 3^{103} \times (9 - 1) = 3^{103} \times 8 \).
الخطوة 2: اختبار قابلية القسمة.
- على 9: العدد 9 هو \(3^2\). بما أن العدد يحتوي على العامل \(3^{103}\)، فهو يقبل القسمة على \(3^2\). (صحيح)
- على 12: العدد 12 هو \(3 \times 4\). العدد \(3^{103} \times 8\) يقبل القسمة على 3 (لأنه يحتوي على \(3^{103}\)) ويقبل القسمة على 4 (لأنه يحتوي على 8). إذن يقبل القسمة على 12. (صحيح)
- على 15: العدد 15 هو \(3 \times 5\). العدد \(3^{103} \times 8\) يقبل القسمة على 3، ولكنه لا يقبل القسمة على 5 (لأن عوامله الأولية هي 3 و 2 فقط). إذن لا يقبل القسمة على 15.
الإجابة الصحيحة هي أ.
الفكرة: نحول العلاقة بين AE و BE إلى علاقة بين AE و AB.
الخطوة 1: من المعطى \( 3AE - 4BE = 0 \)، نستنتج أن \( 3AE = 4BE \).
الخطوة 2: بما أن E نقطة من القطعة [AB]، فإن طول القطعة الكلي يساوي مجموع طولي الجزأين: \( AB = AE + BE \). ومنه \( BE = AB - AE \).
الخطوة 3: نعوض قيمة BE في علاقة الخطوة 1.
\( 3AE = 4(AB - AE) \).
الخطوة 4: ننشر ونحل المعادلة لإيجاد AE.
\( 3AE = 4AB - 4AE \)
\( 3AE + 4AE = 4AB \)
\( 7AE = 4AB \)
\( AE = \frac{4}{7}AB \).
الإجابة الصحيحة هي ج.
الفكرة: نستخدم النسب المثلثية في المثلث القائم.
الخطوة 1: نحدد الأضلاع بالنسبة للزاوية \(\widehat{ABC}\).
- [AB] هو الضلع المجاور.
- [AC] هو الضلع المقابل.
- [BC] هو الوتر.
الخطوة 2: نختار النسبة المثلثية التي تستخدم الضلعين المعلومين (المجاور والوتر). هذه النسبة هي جيب التمام (cosine).
\( \cos(\widehat{ABC}) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
الخطوة 3: نبحث عن الزاوية التي جيب تمامها يساوي 1/2.
الزاوية الشهيرة التي تحقق هذا الشرط هي \( 60^\circ \).
الإجابة الصحيحة هي أ.
الفكرة: لكي يقبل عدد القسمة على 12، يجب أن يقبل القسمة على 3 وعلى 4 في نفس الوقت.
الخطوة 1: قابلية القسمة على 4.
يجب أن يكون العدد المكون من الرقمين الأخيرين (5b) قابلاً للقسمة على 4. الأعداد الممكنة هي 52 و 56. إذن، قيمة b يمكن أن تكون 2 أو 6.
الخطوة 2: قابلية القسمة على 3.
يجب أن يكون مجموع أرقام العدد قابلاً للقسمة على 3.
مجموع الأرقام المعلومة: \(1+1+1+1+2+2+2+3+0+5+8+5 = 31\).
المجموع الكلي: \(31 + a + b\).
الخطوة 3: اختبار الخيارات الممكنة.
- الخيار أ (a=3, b=8): b=8 لا يحقق شرط القسمة على 4 (لأن 58 لا تقبل القسمة على 4). إذن هذا الخيار مرفوض.
- الخيار ب (a=6, b=6): b=6 يحقق شرط القسمة على 4 (لأن 56 تقبل القسمة على 4). لنختبر شرط القسمة على 3. المجموع = \(31+a+b = 31+6+6 = 43\). 43 لا تقبل القسمة على 3. إذن هذا الخيار مرفوض.
- الخيار ج (a=3, b=2): b=2 يحقق شرط القسمة على 4 (لأن 52 تقبل القسمة على 4). لنختبر شرط القسمة على 3. المجموع = \(31+a+b = 31+3+2 = 36\). 36 تقبل القسمة على 3. إذن هذا الخيار صحيح.
الإجابة الصحيحة هي ج.
الفكرة: نبسط البسط والمقام بأخذ العامل المشترك الأصغر قوة.
الخطوة 1: تبسيط البسط.
\( 2^{2013} + 2^{2015} = 2^{2013}(1 + 2^2) = 2^{2013}(1+4) = 5 \times 2^{2013} \).
الخطوة 2: تبسيط المقام.
\( 2^{2014} + 2^{2014} = 2 \times 2^{2014} = 2^{1+2014} = 2^{2015} \).
الخطوة 3: حساب الكسر.
\( \frac{5 \times 2^{2013}}{2^{2015}} = 5 \times 2^{2013-2015} = 5 \times 2^{-2} = 5 \times \frac{1}{2^2} = \frac{5}{4} \).
الخطوة 4: تحويل الكسر إلى عدد عشري.
\( \frac{5}{4} = 1.25 \).
الإجابة الصحيحة هي ب.
الفكرة: الكتابة العلمية تكون على شكل \( a \times 10^n \) حيث \( 1 \le a < 10 \).
الخطوة 1: نكتب العدد \(0,00314\) على الشكل العلمي. نحرك الفاصلة 3 مرات إلى اليمين.
\( 0,00314 = 3,14 \times 10^{-3} \).
الخطوة 2: نعوض هذه القيمة في العبارة الأصلية.
\( (3,14 \times 10^{-3}) \times 10^7 \).
الخطوة 3: نجمع قوى العدد 10.
\( = 3,14 \times 10^{-3+7} = 3,14 \times 10^4 \).
الإجابة الصحيحة هي ج.