الفكرة: نستخدم تعريف إحداثيات مركز الثقل وعلاقات المتجهات في متوازي الأضلاع.
الخطوة 1: تعريف مركز الثقل G للمثلث ABC بالعلاقة المتجهية: \( \vec{AG} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC}) \).
الخطوة 2: في المعين (A; C; D)، هذا يعني أن المبدأ هو A، والمتجه الأول هو \( \vec{AC} \) والمتجه الثاني هو \( \vec{AD} \). نريد كتابة \( \vec{AG} \) بدلالة \( \vec{AC} \) و \( \vec{AD} \).
الخطوة 3: بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن \( \vec{AB} = \vec{DC} = \vec{AC} - \vec{AD} \).
الخطوة 4: نعوض \( \vec{AB} \) في علاقة مركز الثقل.
\( \vec{AG} = \frac{1}{3}((\vec{AC} - \vec{AD}) + \vec{AC}) = \frac{1}{3}(2\vec{AC} - \vec{AD}) = \frac{2}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AD} \).
الخطوة 5: من هذه الكتابة، نستنتج أن إحداثيات النقطة G في المعين (A; C; D) هي \( (\frac{2}{3}; -\frac{1}{3}) \).
الإجابة الصحيحة هي ج.
الفكرة: نبسط العدد ثم ندرس دورية أرقام آحاد قوى العدد 3.
الخطوة 1: تبسيط العدد.
\( a = 3^{2013}(3^2 + 1) = 3^{2013}(9+1) = 10 \times 3^{2013} \).
الخطوة 2: تحديد رقم الآحاد.
بما أن العدد مضروب في 10، فإن رقم آحاده سيكون حتماً 0.
الإجابة الصحيحة هي أ.
الفكرة: لكي يقبل عدد القسمة على 12، يجب أن يقبل القسمة على 3 وعلى 4.
الخطوة 1: شرط القسمة على 3: يجب أن يكون مجموع الأرقام من مضاعفات 3. من الأرقام المعطاة (1, 2, 3, 5)، المجموعات المكونة من 3 أرقام مختلفة التي مجموعها يقبل القسمة على 3 هي:
- 1 + 2 + 3 = 6 (يقبل القسمة على 3). الأرقام هي (1, 2, 3).
- 1 + 3 + 5 = 9 (يقبل القسمة على 3). الأرقام هي (1, 3, 5).
- 2 + 3 + 5 = 10 (لا يقبل القسمة على 3).
- 1 + 2 + 5 = 8 (لا يقبل القسمة على 3).
إذن، يجب أن يتكون العدد من الأرقام (1, 2, 3) أو (1, 3, 5).
الخطوة 2: شرط القسمة على 4: يجب أن يكون العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات قابلاً للقسمة على 4.
- من المجموعة (1, 2, 3): الأعداد الممكنة التي تنتهي بـ "12" أو "32". إذن يمكن تكوين 312 و 132. كلاهما يقبل القسمة على 4.
- من المجموعة (1, 3, 5): لا يمكن تكوين عدد ينتهي برقمين يقبل القسمة على 4 (13, 31, 15, 51, 35, 53 لا تقبل القسمة على 4).
إذن، الأعداد الممكنة هي فقط 132 و 312.
عدد الأعداد هو 2.
الإجابة الصحيحة هي أ.
الفكرة: نبسط الجذرين ثم نحسب الكسر.
الخطوة 1: تبسيط الجذور.
- \( \sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7} \).
- \( \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7} \).
الخطوة 2: حساب الكسر.
\( \frac{3\sqrt{7}}{2\sqrt{7}} = \frac{3}{2} \).
الخطوة 3: تحديد طبيعة العدد.
العدد \( \frac{3}{2} = 1.5 \). هذا العدد هو عدد عشري (لأن مقامه من قوى 2). وكل عدد عشري هو عدد كسري. بما أنه عشري، فهو ليس كسري غير عشري وليس أصم.
الإجابة الصحيحة هي ب.
الفكرة: نتحقق من جداء العددين. إذا كان الجداء 1، فهما مقلوبان.
الخطوة 1: نضرب العددين.
\( \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}-2} = \frac{(\sqrt{6}+2)\sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{6}-2)} \).
يمكننا اختزال \( \sqrt{2} \) من البسط والمقام.
\( = \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2} \).
الخطوة 2: نلاحظ أن الجداء لا يساوي 1. لنبسط كل عدد على حدة باستخدام المرافق.
- العدد الأول: \( \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}+2)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{12}+2\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3}+\sqrt{2} \).
- العدد الثاني: \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}-2} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{\sqrt{12}+2\sqrt{2}}{6-4} = \frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3}+\sqrt{2} \).
الخطوة 3: بما أن كلا العددين يساويان نفس القيمة \( \sqrt{3}+\sqrt{2} \)، فهما متساويان.
الإجابة الصحيحة هي ج.
الفكرة: نستخدم مبرهنة طالس في المثلث ABJ حيث J هي نقطة تقاطع (DI) مع امتداد (CB).
الخطوة 1: نعتبر المثلث ABM. لدينا المستقيم (DI) يمر من M. ولدينا I منتصف [AB].
الخطوة 2: نطبق مبرهنة طالس في المثلث ABM والمستقيم (DI)؟ لا. نطبقها في المثلث الأكبر AMC و النقطة I؟ لا.
الخطوة 3: نستخدم خاصية شهيرة. نمد المستقيم (DI) ليقطع امتداد (BC) في نقطة K. في المثلث ADK، لدينا (MC) يوازي (AD).
الخطوة 4 (طريقة أسهل): نعتبر المثلث ADC. المتوسط الصادر من D هو [DO] حيث O مركز متوازي الأضلاع. لكن M ليست على المتوسط.
نعتبر المثلث ABK حيث K هي تقاطع (AC) و (BD). M هي نقطة على (DI).
الطريقة الصحيحة هي باستخدام مبرهنة طالس في المثلثين AMI و CMD. لدينا (AB)//(CD)، إذن (AI)//(CD).
نطبق طاليس في المثلثين المتقابلين بالرأس M: مثلث MAI ومثلث MCD.
\( \frac{MA}{MC} = \frac{MI}{MD} = \frac{AI}{CD} \).
بما أن I منتصف [AB]، فإن \( AI = \frac{1}{2}AB \). وبما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن \( AB=CD \).
إذن، \( AI = \frac{1}{2}CD \). نعوض هذا في النسبة.
\( \frac{MA}{MC} = \frac{\frac{1}{2}CD}{CD} = \frac{1}{2} \).
\( \frac{MA}{MC} = \frac{1}{2} \implies 2MA = MC \).
نحن نعلم أن \( AC = AM + MC = AM + 2AM = 3AM \).
إذن، \( \frac{AM}{AC} = \frac{AM}{3AM} = \frac{1}{3} \).
الإجابة الصحيحة هي ب.
الفكرة: ننطلق من المعادلة المعطاة ونحاول عزل \( \frac{1}{a} \).
الخطوة 1: بما أن \( a^2 - 2a - 1 = 0 \)، فإن a لا يمكن أن يساوي صفر (لأن \(0-0-1 \ne 0\)). إذن يمكننا القسمة على a.
الخطوة 2: نقسم كل حدود المعادلة على a.
\( \frac{a^2}{a} - \frac{2a}{a} - \frac{1}{a} = \frac{0}{a} \)
\( a - 2 - \frac{1}{a} = 0 \).
الخطوة 3: نعزل \( \frac{1}{a} \).
\( a - 2 = \frac{1}{a} \).
إذن، مقلوب a هو \( a-2 \).
الإجابة الصحيحة هي ب.
الفكرة: O هي مركز ثقل المثلث ABC، والمساحة المطلوبة هي مجموع مساحتي مثلثين.
الخطوة 1: في المثلث ABC، [BE] هو متوسط لأنه يربط الرأس B بمنتصف الضلع المقابل [AC].
و [DC] هو متوسط لأنه يربط الرأس C بمنتصف الضلع المقابل [AB].
النقطة O هي نقطة تقاطع المتوسطين، إذن O هي مركز ثقل المثلث ABC.
الخطوة 2: مساحة الرباعي ADOE هي مجموع مساحتي المثلثين ADO و AEO.
\( \text{مساحة}(ADOE) = \text{مساحة}(ADO) + \text{مساحة}(AEO) \).
الخطوة 3: نستخدم خاصية مركز الثقل: يقسم المثلث إلى 6 مثلثات صغيرة لها نفس المساحة. هذه المثلثات هي ADO, ODB, BEO', O'EC, CEO, OEA (حيث O' منتصف BC).
طريقة أبسط: مركز الثقل O يقسم كل متوسط بنسبة 2:1.
أيضاً، مساحة المثلث AOB = مساحة المثلث AOC = مساحة المثلث BOC = \( \frac{1}{3} \) مساحة المثلث ABC.
مساحة المثلث ABC = \( \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \text{ cm}^2 \).
إذن، مساحة AOB = مساحة AOC = \( \frac{24}{3} = 8 \text{ cm}^2 \).
الخطوة 4: في المثلث AOB، [OD] هو متوسط (لأن D منتصف AB). المتوسط يقسم المثلث إلى مثلثين لهما نفس المساحة.
إذن، مساحة(ADO) = مساحة(BDO) = \( \frac{1}{2} \) مساحة(AOB) = \( \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}^2 \).
الخطوة 5: في المثلث AOC، [OE] هو متوسط (لأن E منتصف AC).
إذن، مساحة(AEO) = مساحة(CEO) = \( \frac{1}{2} \) مساحة(AOC) = \( \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}^2 \).
الخطوة 6: حساب المساحة المطلوبة.
\( \text{مساحة}(ADOE) = \text{مساحة}(ADO) + \text{مساحة}(AEO) = 4 + 4 = 8 \text{ cm}^2 \).
الإجابة الصحيحة هي أ.