دليل المساعدة لتمارين الجبر والحساب

تتضمن هذه التمارين مفاهيم الجبر المتعلقة بتبسيط العبارات الجبرية، حل المعادلات، والتعامل مع الجذور التربيعية والمقلوبات. إليك الشرح:

تمارين في الجبر والحساب

المستوى: 9 أساسي محور: الحساب في IR
تمرين

تبسيط عبارة جبرية وتطبيقاتها

نعتبر العبارة: $A = (x\sqrt{2}-7)(x\sqrt{2}+5)+2x\sqrt{2}-14$ حيث $x$ عدد حقيقي.

  1. بيّن أنّ $A=(x\sqrt{2}-7)(x\sqrt{2}+7)$.
  2. أوجد $x$ بحيث $A=0$.
    1. احسب $A$ في حالة $x=5$.
    2. استنتج مقلوب العدد $(5\sqrt{2}-7)$.
    3. استنتج حساب $\frac{1}{5\sqrt{2}-7} + \frac{1}{5\sqrt{2}+7}$.
    1. احسب $\sqrt{5\sqrt{2}-7}\sqrt{5\sqrt{2}+7}$.
    2. ما هو مقلوب العدد $\sqrt{5\sqrt{2}-7}$؟

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للحل

  • للسؤال 1: حاول تفكيك الجزء الثاني من العبارة $2x\sqrt{2}-14$ للعثور على عامل مشترك مع الجزء الأول.
  • للسؤال 2: تذكر أن جداء يساوي صفرا إذا كان أحد عوامله على الأقل يساوي صفرا. استخدم الصيغة المبسطة لـ $A$.
  • للسؤال 3.ب: مقلوب عدد $y$ هو $\frac{1}{y}$. استخدم نتيجة السؤال 3.أ لإيجاد علاقة بين $(5\sqrt{2}-7)$ و مقلوبه.
  • للسؤال 4.أ: تذكر القاعدة $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ والجداء المعتبر $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

📝 طريقة الحل

  1. لتبسيط A:

    لاحظ أن $2x\sqrt{2}-14 = 2(x\sqrt{2}-7)$.

    أصبح لدينا $A = (x\sqrt{2}-7)(x\sqrt{2}+5)+2(x\sqrt{2}-7)$.

    الآن، ضع $(x\sqrt{2}-7)$ كعامل مشترك. سيتبقى لك $(x\sqrt{2}+5)+2$.

    بسط ما بين القوسين لتحصل على الشكل المطلوب.

  2. لحل المعادلة A=0:

    استخدم الشكل المبسط: $(x\sqrt{2}-7)(x\sqrt{2}+7) = 0$.

    هذا يعني أن $x\sqrt{2}-7=0$ أو $x\sqrt{2}+7=0$. حل كل معادلة على حدة لإيجاد قيم $x$.

  3. للحسابات في حالة x=5:

    أ) عوض $x=5$ في الصيغة المبسطة لـ $A$. ستحصل على $A = (5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7)$. استخدم الجداء المعتبر $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ للحساب.

    ب) من السؤال 3.أ، ستجد أن $(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7)=1$. بما أن جداء العددين يساوي 1، فإن أحدهما هو مقلوب الآخر.

    ج) لتوحيد المقامات، اضرب الكسر الأول في مقام الثاني، والثاني في مقام الأول. المقام المشترك هو $(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7)$ الذي حسبته سابقا.

  4. للحسابات بالجذور:

    أ) طبق القاعدة $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$. ستحصل على $\sqrt{(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7)}$. لقد حسبت ما بداخل الجذر في السؤال 3.أ.

    ب) من نتيجة السؤال 4.أ، لديك جداء عددين يساوي 1. هذا يعني مباشرة أن أحدهما مقلوب الآخر.

✅ الحل الكامل والمفصل

1. تبيين أن $A=(x\sqrt{2}-7)(x\sqrt{2}+7)$:

لدينا $A = (x\sqrt{2}-7)(x\sqrt{2}+5)+2x\sqrt{2}-14$.

نلاحظ أن الجزء الثاني من العبارة يمكن تفكيكه: $2x\sqrt{2}-14 = 2(x\sqrt{2}-7)$.

نعوض هذا في العبارة A:

$A = (x\sqrt{2}-7)(x\sqrt{2}+5)+2(x\sqrt{2}-7)$

نضع $(x\sqrt{2}-7)$ كعامل مشترك:

$A = (x\sqrt{2}-7) \left[ (x\sqrt{2}+5) + 2 \right]$

نبسط ما بين المعكوفين:

$A = (x\sqrt{2}-7)(x\sqrt{2}+7)$

وهذا هو المطلوب. (نلاحظ أنه على شكل الجداء المعتبر $(a-b)(a+b)$ حيث $a=x\sqrt{2}$ و $b=7$).

2. إيجاد x بحيث A=0:

$A=0$ يعني $(x\sqrt{2}-7)(x\sqrt{2}+7) = 0$.

جداء يساوي صفر يعني أن أحد عوامله يساوي صفر:

  • إما $x\sqrt{2}-7 = 0 \implies x\sqrt{2} = 7 \implies x = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.
  • أو $x\sqrt{2}+7 = 0 \implies x\sqrt{2} = -7 \implies x = \frac{-7}{\sqrt{2}} = \frac{-7\sqrt{2}}{2}$.

إذن، مجموعة الحلول هي $S = \{ \frac{-7\sqrt{2}}{2} , \frac{7\sqrt{2}}{2} \}$.

3. أ) حساب A في حالة x=5:

نعوض $x=5$ في الصيغة المبسطة لـ $A$:

$A = (5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7)$

باستخدام الجداء المعتبر $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$A = (5\sqrt{2})^2 - 7^2 = (25 \times 2) - 49 = 50 - 49 = 1$.

إذن، عندما $x=5$ فإن $A=1$.

3. ب) استنتاج مقلوب العدد $(5\sqrt{2}-7)$:

من السؤال السابق، وجدنا أن $(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7) = 1$.

بما أن جداء العددين يساوي 1، فإن كل واحد منهما هو مقلوب الآخر.

إذن، مقلوب العدد $(5\sqrt{2}-7)$ هو $(5\sqrt{2}+7)$.

3. ج) استنتاج حساب $\frac{1}{5\sqrt{2}-7} + \frac{1}{5\sqrt{2}+7}$:

لدينا $\frac{1}{5\sqrt{2}-7} = 5\sqrt{2}+7$ (من السؤال 3.ب).

و بالمثل، $\frac{1}{5\sqrt{2}+7} = 5\sqrt{2}-7$.

إذن، المجموع يصبح:

$(5\sqrt{2}+7) + (5\sqrt{2}-7) = 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 7 - 7 = 10\sqrt{2}$.

4. أ) حساب $\sqrt{5\sqrt{2}-7}\sqrt{5\sqrt{2}+7}$:

باستخدام القاعدة $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{5\sqrt{2}-7}\sqrt{5\sqrt{2}+7} = \sqrt{(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7)}$

من السؤال 3.أ، نعلم أن $(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7) = 1$.

إذن، الحساب يصبح $\sqrt{1} = 1$.

4. ب) ما هو مقلوب العدد $\sqrt{5\sqrt{2}-7}$؟

من السؤال 4.أ، وجدنا أن $\sqrt{5\sqrt{2}-7} \times \sqrt{5\sqrt{2}+7} = 1$.

بما أن جداء العددين يساوي 1، فإن مقلوب العدد $\sqrt{5\sqrt{2}-7}$ هو العدد $\sqrt{5\sqrt{2}+7}$.