🎯 فرض مراقبة عدد 2 - التاسعة أساسي 🎯

📚 المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة 📚
إعداد الأستاذ: فوزي الغربي
مثال رقم 6
🚀 التمرين رقم 1: إختر الإجابة الصحيحة 🚀

أختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات الثلاثة المقترحة.

الجملة إجابة أ إجابة ب إجابة ج
(1) قيس طول ضلع مربع مساحته $$(1-\sqrt{2})^{2}$$ $1-\sqrt{2}$ $\sqrt{2}-1$ $\sqrt{2}-1$
(2) ليكن $(O,I,J)$ معيّناً في المستوي. والنقطتان $A(\sqrt{12},2)$ و $B(2\sqrt{3},-2)$ إذن: $B$ و $A$ متناظران بالنسبة لـ $(OI)$ $A$ و $B$ متناظران بالنسبة لـ $(OJ)$ $(AB)//(OJ)$
(3) مثلث متقايس الأضلاع محيطه $$\sqrt{72}+\sqrt{9}$$ إذن قيس طول ضلعه: $6\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}+1$ $3$
(4) ليكن $(O,I,J)$ معيّناً متعامداً في المستوي و $E(3,1)$ و $F(-2,1)$ فإن مجموعة النقاط $M(x,y)$ بحيث $y=1$ و $x\le0$ هي: $[JF]$ $[EF)$ $[JF)$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 1

(1) طول الضلع $l$ يساوي الجذر التربيعي للمساحة:
$$ l = \sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}} $$ $$ l = |1-\sqrt{2}| $$ $$ \text{بما أن } 1 < \sqrt{2} \text{، فإن } 1-\sqrt{2} < 0 $$ $$ l = -(1-\sqrt{2}) $$ $$ l = \sqrt{2}-1 $$

الإجابة الصحيحة هي: $\sqrt{2}-1$

(2) إحداثيات النقطتين $A(2\sqrt{3},2)$ و $B(2\sqrt{3},-2)$:
$$ x_A = 2\sqrt{3} \quad \text{و} \quad x_B = 2\sqrt{3} \implies x_A = x_B $$ $$ y_A = 2 \quad \text{و} \quad y_B = -2 \implies y_A = -y_B $$

بما أن $x_A=x_B$ فإن المستقيم $(AB)$ يوازي محور التراتيب $(OJ)$.

بما أن $y_A = -y_B$ فإن $A$ و $B$ متناظران بالنسبة لمحور الفواصل $(OI)$.

الإجابة الصحيحة هي: $B$ و $A$ متناظران بالنسبة لـ $(OI)$

(3) قيس محيط المثلث هو:
$$ P = \sqrt{72} + \sqrt{9} $$ $$ P = 6\sqrt{2} + 3 $$

بما أن المثلث متقايس الأضلاع، فإن طول ضلعه $l = P/3$:

$$ l = \frac{6\sqrt{2} + 3}{3} $$ $$ l = \frac{3(2\sqrt{2} + 1)}{3} $$ $$ l = 2\sqrt{2} + 1 $$

الإجابة الصحيحة هي: $2\sqrt{2}+1$

(4) مجموعة النقاط $M(x,y)$ بحيث $y=1$ هي المستقيم $(EF)$.

الشرط $x\le0$ يحدد نصف مستقيم يبدأ عند تقاطع المستقيم $y=1$ مع محور التراتيب $(OJ)$ (أي النقطة $J(0,1)$) ويتجه نحو اليسار (الأعداد السالبة)..

الإجابة الصحيحة هي: $[JF)$ (باعتبار $J$ هو أصل نصف المستقيم)

🎪 التمرين رقم 2: العبارات الجبرية 🎪
1) نعتبر العبارة التالية حيث $x$ عدد حقيقي:
$$ E=\sqrt{3}(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) $$
بيّن أن:
$$ E=(\sqrt{3}x+3)(x-2\sqrt{3})+3\sqrt{3}+3x $$
2) جد العدد الحقيقي $x$ في كل حالة:
$$\text{أ) } E = 0$$ $$\text{ب) } E = 0 - \frac{2}{2}$$ $$\text{ج) } |\sqrt{\frac{1}{3}}E| = |x-\sqrt{3}| -\omega$$

📝 التصحيح الكامل للتمرين 2

1) تبيان تساوي العبارتين

تبسيط العبارة الأولى:

$$ E_1 = \sqrt{3}(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) $$ $$ E_1 = \sqrt{3}(x^2 - (\sqrt{3})^2) $$ $$ E_1 = \sqrt{3}(x^2 - 3) $$ $$ E_1 = \sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3} $$

تبسيط العبارة الثانية:

$$ E_2 = (\sqrt{3}x+3)(x-2\sqrt{3})+3\sqrt{3}+3x $$ $$ E_2 = (\sqrt{3}x^2 - 2(3)x + 3x - 6\sqrt{3}) + 3\sqrt{3}+3x $$ $$ E_2 = \sqrt{3}x^2 - 6x + 3x - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3}+3x $$ $$ E_2 = \sqrt{3}x^2 + (-6x + 3x + 3x) + (-6\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) $$ $$ E_2 = \sqrt{3}x^2 + 0 - 3\sqrt{3} $$ $$ E_2 = \sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3} $$

النتيجة: بما أن $E_1 = E_2 = \sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3}$، فالعبارتان متساويتان.

2) حل المعادلات

أ) حل $E=0$:

$$ \sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3} = 0 $$ $$ \sqrt{3}(x^2 - 3) = 0 $$ $$ x^2 - 3 = 0 $$ $$ x^2 = 3 $$ $$ x = \sqrt{3} \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{3} $$

ب) حل $E = 0 - \frac{2}{2}$: أي $E = -1$

$$ \sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3} = -1 $$ $$ \sqrt{3}x^2 = 3\sqrt{3} - 1 $$ $$ x^2 = \frac{3\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} $$ $$ x^2 = 3 - \frac{1}{\sqrt{3}} = 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} $$ $$ x = \sqrt{3 - \frac{\sqrt{3}}{3}} \quad \text{أو} \quad x = -\sqrt{3 - \frac{\sqrt{3}}{3}} $$

ج) حل $|\sqrt{\frac{1}{3}}E| = |x-\sqrt{3}| - \omega$: نفترض أن $\omega=0$

$$ |\frac{1}{\sqrt{3}} E| = |x-\sqrt{3}| $$ $$ |\frac{1}{\sqrt{3}} (\sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3})| = |x-\sqrt{3}| $$ $$ |x^2 - 3| = |x-\sqrt{3}| $$ $$ |(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})| = |x-\sqrt{3}| $$ $$ |x-\sqrt{3}| |x+\sqrt{3}| = |x-\sqrt{3}| $$

الحالة 1: $x-\sqrt{3} = 0 \implies x = \sqrt{3}$

الحالة 2: $x-\sqrt{3} \ne 0$. نقسم طرفي المعادلة على $|x-\sqrt{3}| \ne 0$:

$$ |x+\sqrt{3}| = 1 $$ $$ x+\sqrt{3} = 1 \quad \text{أو} \quad x+\sqrt{3} = -1 $$ $$ x = 1-\sqrt{3} \quad \text{أو} \quad x = -1-\sqrt{3} $$

مجموعة الحلول هي: $S_{\mathbb{R}} = \{\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}, -1-\sqrt{3}\}$

✨ التمرين رقم 3: تبسيط العبارات
نعتبر العبارتين التاليتين حيث $x$ عدد حقيقي:
$$ A=2(\frac{3}{2}-\sqrt{3})-[\sqrt{4}-|\sqrt{8}-2|]-(1-\sqrt{12}) $$ $$ B=\sqrt{8}(2-2\sqrt{2})-(x-\sqrt{32})(-1+\sqrt{2}) $$
1) بيّن أن $A=2\sqrt{2}-2$ و $B=(1-\sqrt{2})x$.
2-أ) بيّن أنّ $A-B=(\sqrt{2}-1)(2+x)$.
2-ب) استنتج قيمة العدد الحقيقي $x$ بحيث $A=B$.
3) إذا علمت أن $x=-1+\sqrt{2}$ أحسب $A-B$.
4) أوجد العدد الحقيقي $x$ إذا علمت أن $A=B+\sqrt{2}-2$.

📝 التصحيح الكامل للتمرين 3

1) تبيان أن $A=2\sqrt{2}-2$ و $B=(1-\sqrt{2})x$

تبسيط $A$:

$$ A=3-2\sqrt{3}-[2-|2\sqrt{2}-2|]-1+2\sqrt{3} $$ $$ A=3-2\sqrt{3}-[2-(2\sqrt{2}-2)]-1+2\sqrt{3} \quad \text{بما أن } \sqrt{8} > 2 $$ $$ A=3-2\sqrt{3}-[2-2\sqrt{2}+2]-1+2\sqrt{3} $$ $$ A=3-2\sqrt{3}-4+2\sqrt{2}-1+2\sqrt{3} $$ $$ A= (3-4-1) + (-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}) + 2\sqrt{2} $$ $$ A= -2 + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}-2 $$

تبسيط $B$:

$$ B=2\sqrt{2}(2-2\sqrt{2})-(x-4\sqrt{2})(-1+\sqrt{2}) $$ $$ B=(4\sqrt{2}-8) - (-x+x\sqrt{2} + 4\sqrt{2}-8) $$ $$ B=4\sqrt{2}-8 + x-x\sqrt{2} - 4\sqrt{2}+8 $$ $$ B= (x-x\sqrt{2}) + (4\sqrt{2}-4\sqrt{2}) + (-8+8) $$ $$ B= x(1-\sqrt{2}) $$
2-أ) تبيان أنّ $A-B=(\sqrt{2}-1)(2+x)$
$$ A-B = (2\sqrt{2}-2) - x(1-\sqrt{2}) $$ $$ A-B = 2(\sqrt{2}-1) - x(-(\sqrt{2}-1)) $$ $$ A-B = 2(\sqrt{2}-1) + x(\sqrt{2}-1) $$ $$ A-B = (\sqrt{2}-1)(2+x) $$
2-ب) استنتاج قيمة $x$ بحيث $A=B$

المعادلة $A=B$ تكافئ $A-B=0$:

$$ (\sqrt{2}-1)(2+x) = 0 $$ $$ 2+x = 0 \quad \text{بما أن } \sqrt{2}-1 \ne 0 $$ $$ x = -2 $$
3) حساب $A-B$ من أجل $x=-1+\sqrt{2}$
$$ A-B = (\sqrt{2}-1)(2+(-1+\sqrt{2})) $$ $$ A-B = (\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2}) $$ $$ A-B = (\sqrt{2})^2 - 1^2 $$ $$ A-B = 2 - 1 $$ $$ A-B = 1 $$
4) إيجاد $x$ إذا علمت أن $A=B+\sqrt{2}-2$

المعادلة تكافئ $A-B = \sqrt{2}-2$:

$$ (\sqrt{2}-1)(2+x) = \sqrt{2}-2 $$ $$ (\sqrt{2}-1)(2+x) = -\sqrt{2}(1-\sqrt{2}) $$ $$ (\sqrt{2}-1)(2+x) = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1) $$ $$ 2+x = \sqrt{2} \quad \text{بما أن } \sqrt{2}-1 \ne 0 $$ $$ x = \sqrt{2} - 2 $$
📏 التمرين رقم 4: الإحداثيات والهندسة التحليلية 📏

ليكن $(O,I,J)$ معيّناً متعامداً من المستوي.

1) عيّن النقاط $A(3,0)$ و $B(0,4)$ و $C(3,4)$ و $D(-3,4)$.
2) بيّن أن المثلث $ABC$ قائم.
3) بيّن أن $AB=OC$.
4) بيّن أن المثلثين $ABC$ و $ODC$ متقايسان.
5) ابن $E$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $O$ و $F$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $A$.
6) حدد معللاً جوابك إحداثيات $F$.
7) بيّن أن $CE=DF$.
8) أحسب مساحة الرباعي $OAFE$.

📝 التصحيح الكامل للتمرين 4

2) تبيان أن المثلث $ABC$ قائم

لدينا $A(3,0)$ و $C(3,4)$، إذن $x_A=x_C$.

لدينا $B(0,4)$ و $C(3,4)$، إذن $y_B=y_C$.

$$\text{المستقيم } (AC) \text{ يوازي محور التراتيب } (OJ)$$ $$\text{المستقيم } (BC) \text{ يوازي محور الفواصل } (OI)$$ $$ \text{بما أن المعلم متعامد، فإن } (OI) \perp (OJ) \text{ ومنه } (AC) \perp (BC) $$

النتيجة: المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$.

3) تبيان أن $AB=OC$

حساب الأبعاد:

$$ AB^2 = (3-0)^2 + (0-4)^2 = 9 + 16 = 25 $$ $$ OC^2 = (3-0)^2 + (4-0)^2 = 9 + 16 = 25 $$ $$ AB = \sqrt{25} = 5 \quad \text{و} \quad OC = \sqrt{25} = 5 $$ $$ AB = OC = 5 $$
4) تبيان أن المثلثين $ABC$ و $ODC$ متقايسان

حساب أطوال أضلاع المثلثين:

المثلث $ABC$: $AC=|y_C-y_A|=4$، $BC=|x_C-x_B|=3$، $AB=5$.

المثلث $ODC$: $D(-3,4)$, $O(0,0)$, $C(3,4)$.

$$ OD^2 = (-3-0)^2 + (4-0)^2 = 9 + 16 = 25 \implies OD=5 $$ $$ OC = 5 \quad \text{(من السؤال 3)}$$ $$ DC = |x_C-x_D| = |3-(-3)| = 6 $$

أضلاع $ABC$: $\{3, 4, 5\}$، أضلاع $ODC$: $\{5, 5, 6\}$

النتيجة: المثلثان ليسا متقايسين لأن أطوال أضلاعهما مختلفة. (من المحتمل وجود خطأ مطبعي في نص السؤال الأصلي).

6) إحداثيات $F$

$F$ مناظرة $B(0,4)$ بالنسبة لـ $A(3,0)$ يعني أن $A$ هي منتصف $[BF]$.

$$ x_A = \frac{x_B + x_F}{2} \implies 3 = \frac{0 + x_F}{2} \implies x_F = 6 $$ $$ y_A = \frac{y_B + y_F}{2} \implies 0 = \frac{4 + y_F}{2} \implies y_F = -4 $$ $$ F(6, -4) $$

إحداثيات $F$ هي $(6, -4)$.

7) تبيان أن $CE=DF$

حساب الإحداثيات: $C(3,4)$، $D(-3,4)$.$F(6,-4)$.

$E$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $O(0,0)$ $\implies E(-3,-4)$.

حساب الأبعاد:

$$ CE^2 = (-3-3)^2 + (-4-4)^2 = (-6)^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100 $$ $$ CE = \sqrt{100} = 10 $$
$$ DF^2 = (6-(-3))^2 + (-4-4)^2 = 9^2 + (-8)^2 = 81 + 64 = 145 $$ $$ DF = \sqrt{145} $$

النتيجة: $CE \ne DF$ ($\sqrt{100} \ne \sqrt{145}$). (من المحتمل وجود خطأ مطبعي في نص السؤال الأصلي).

8) حساب مساحة الرباعي $OAFE$

رؤوس الرباعي: $O(0,0)$، $A(3,0)$، $F(6,-4)$، $E(-3,-4)$.

الرباعي $OAFE$ يمكن تقسيمه إلى المثلثين $\triangle OAE$ و $\triangle AFE$ (لا يمكن تقسيمه هكذا لأنهما يتداخلان، بل نقسمه إلى مثلثين قاعدتهما على محور الفواصل، أو نستخدم طريقة المضلع).نستخدم التقسيم: المستطيل الكبير الذي يشمل الرؤوس ناقص مساحتي مثلثين.

نعتبر نقطتين مسقطتين على محور الفواصل: $E'(-3,0)$ و $F'(6,0)$

مساحة الرباعي $OAFE$ هي مساحة شبه المنحرف القائم $E'E F F'$ مطروحاً منه مساحتي المثلثين $\triangle O E' E$ و $\triangle A F' F$ (هذا خاطئ).

نقسم الرباعي $OAFE$ إلى مثلثين هما $\triangle O E A$ و $\triangle O A F$. (غير صحيح)

نقسم الرباعي $OAFE$ إلى مثلثين هما $\triangle O E F$ و $\triangle O A F$. (غير صحيح)

نقسم الرباعي $OAFE$ إلى مثلثين هما $\triangle E A F$ و $\triangle E A O$. (صحيح، لأن $OA$ و $EF$ متوازيان)

$$ \text{المساحة}(OAFE) = \text{المساحة}(\triangle E A O) + \text{المساحة}(\triangle E A F) $$

حساب مساحة $\triangle E A O$: قاعدته $[OA]$ على محور الفواصل، طولها 3. الارتفاع هو مسافة $E$ عن $(OI)$، أي 4.

$$ \text{المساحة}(\triangle E A O) = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot |y_E| = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 $$

حساب مساحة $\triangle E A F$: قاعدته $[EF]$ موازية لمحور الفواصل، طولها $6 - (-3) = 9$. الارتفاع هو مسافة $A$ عن $(EF)$، أي 4.

$$ \text{المساحة}(\triangle E A F) = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot |y_A - y_F| = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18 $$

المساحة الكلية:

$$ \text{المساحة}(OAFE) = 6 + 18 = 24 $$

مساحة الرباعي $OAFE$ هي 24 وحدة مساحة.

📐 التمرين رقم 5: الهندسة ونظرية طالس 📐

يمثل الشكل المصاحب شبه منحرف $BCKL$ قاعدتاه $[BC]$ و $[LK]$.وحدة قيس الطول هي السنتمتر.

نفرض $R$ المسقط العمودي لـ $B$ على $(LK)$ و $O$ النقطة من نصف المستقيم $[BR]$ بحيث $BO=4$. المستقيم $(OC)$ يقطع $(BL)$ في النقطة $E$.$A$ المسقط العمودي لـ $E$ على $(OB)$ بحيث $AB=1$.

1-أ) عيّن على $[OB]$ النقطة $H$ حيث $OH=3.5$.الموازي لـ $(BC)$ والمار من $H$ يقطع $(BL)$ في $M$. بيّن أن $\frac{HM}{BC} = \frac{OH}{OB}$.
1-ب) بيّن أن $HM=\frac{1}{2}AE$.
1-ج) أحسب $MH$ علماً أن $BC$ غير معلومة. (ربما المقصود: أحسب $BC$ علماً أن $MH=\frac{15}{8}$).
1-د) استنتج $BC$ علماً أن $EC=1.25$.

📝 التصحيح الكامل للتمرين 5

1-أ) تبيان النسبة $\frac{HM}{BC} = \frac{OH}{OB}$

نعتبر المثلث $\triangle OBC$ (بافتراض أن $M$ تنتمي إلى $[OC]$ و $H$ تنتمي إلى $[OB]$، وأن $(HM) // (BC)$).

1. شروط الاستقامية:

  • $H$ تنتمي إلى $(OB)$
  • $M$ تنتمي إلى $(OC)$ (افتراض ضروري لتطبيق طالس في $\triangle OBC$)

2. شرط التوازي:

  • $(HM) // (BC)$ (معطى)

3. النتيجة (نظرية طالس):

$$ \frac{OH}{OB} = \frac{OM}{OC} = \frac{HM}{BC} $$
1-ب) تبيان أن $HM=\frac{1}{2}AE$

نحن نعلم أن $O, A, B$ نقاط متسامتة على $[BR]$.

لدينا $OB=4$ و $AB=1$ و $A$ تقع بين $O$ و $B$ $\implies OA = OB - AB = 4 - 1 = 3$.

و لدينا $OH=3.5$. من (1-أ)، $\frac{HM}{BC} = \frac{OH}{OB} = \frac{3.5}{4} = \frac{7}{8}$

$$ HM = \frac{7}{8} BC \quad (*)$$

لإثبات $HM=\frac{1}{2}AE$، يجب أن نبيّن أن $AE = \frac{7}{4}BC$.

نعتبر المثلث $\triangle OBC$ حيث $E = (OC) \cap (BL)$. $A$ هو المسقط العمودي لـ $E$ على $(OB)$.

بتطبيق نظرية طالس في $\triangle OAE$ و $\triangle OCB$ (لا يمكن) أو استخدام التشابه في المثلثات القائمة $\triangle OAE$ و $\triangle OCB$ (إذا كانت قائمة).

لحل هذا السؤال يجب أن نجد علاقة بين $AE$ و $BC$ و النسب $OA/OB$ أو $OE/OC$.

(خطوات البرهان تعتمد على فرضية هندسية غير متوفرة في النص)

إذا كانت العلاقة $HM=\frac{1}{2}AE$ صحيحة، فهذا يعني:

$$ \frac{7}{8} BC = \frac{1}{2} AE $$ $$ AE = \frac{7}{4} BC $$

نظراً لتعقيد البناء الهندسي وعدم تبيان العلاقة المطلوبة بالمعطيات الحالية، نفترض صحة النتيجة المطلوبة في نص الفرض الأصلي (لكن لا يمكن إثباتها بدقة من المعطيات الحالية).

1-ج) أحسب $BC$ علماً أن $MH=\frac{15}{8}$

باستخدام العلاقة $\frac{HM}{BC} = \frac{7}{8}$ من (1-أ):

$$ BC = \frac{8}{7} HM $$ $$ BC = \frac{8}{7} \cdot \frac{15}{8} $$ $$ BC = \frac{15}{7} $$

قيس طول $BC$ هو $\frac{15}{7}$ سم.