A = (√7 - 2)²
B = (3 + √5)(3 - √5)
C = √20 - 2√5 + √45
المعطى: A = (√7 - 2)²
نطبق المتطابقة: (a - b)² = a² - 2ab + b²
A = (√7)² - 2(√7)(2) + 2²
A = 7 - 4√7 + 4
A = 11 - 4√7
المعطى: B = (3 + √5)(3 - √5)
نطبق المتطابقة: (a + b)(a - b) = a² - b²
B = 3² - (√5)²
B = 9 - 5
المعطى: C = √20 - 2√5 + √45
الخطوة 1: نحلل الجذور
√20 = √(4×5) = 2√5
√45 = √(9×5) = 3√5
الخطوة 2: نعوض ونبسط
C = 2√5 - 2√5 + 3√5
C = (2 - 2 + 3)√5
نستعمل النتائج المحصل عليها:
A = 11 - 4√7
B = 4
C = 3√5
نجمع:
A + B + C = (11 - 4√7) + 4 + 3√5
A + B + C = 15 - 4√7 + 3√5
E = (2x - 3)² - (x + 1)²
المعطى: E = (2x - 3)² - (x + 1)²
الملاحظة: فرق بين مربعين A² - B²
نضع: A = 2x - 3 و B = x + 1
نطبق: A² - B² = (A + B)(A - B)
E = [(2x - 3) + (x + 1)][(2x - 3) - (x + 1)]
نبسط الأول:
(2x - 3) + (x + 1) = 2x - 3 + x + 1 = 3x - 2
نبسط الثاني:
(2x - 3) - (x + 1) = 2x - 3 - x - 1 = x - 4
المعطى: (3x - 2)(x - 4) = 0
قاعدة: جداء يساوي صفر ⟺ أحد العوامل يساوي صفر
الحالة 1: 3x - 2 = 0
3x = 2
x₁ = 2/3
الحالة 2: x - 4 = 0
x₂ = 4
نستعمل الشكل المحلل:
E = (3x - 2)(x - 4)
نعوض x = √2:
E = (3√2 - 2)(√2 - 4)
ننشر:
E = 3√2 × √2 - 3√2 × 4 - 2 × √2 + 2 × 4
E = 3 × 2 - 12√2 - 2√2 + 8
E = 6 - 14√2 + 8
A(2, 3), B(-1, 4), C(3, -2)
المعطيات:
A(2, 3)
B(-1, 4)
قاعدة: إذا كان A(xₐ, yₐ) و B(xᵦ, yᵦ)
فإن AB(xᵦ - xₐ, yᵦ - yₐ)
الحساب:
x_AB = -1 - 2 = -3
y_AB = 4 - 3 = 1
قاعدة: المسافة بين نقطتين
AB = √[(xᵦ - xₐ)² + (yᵦ - yₐ)²]
نستعمل إحداثيات الشعاع:
AB = √[(-3)² + 1²]
AB = √[9 + 1]
AB = √10
قاعدة: إحداثيات منتصف [AB]
M((xₐ + xᵦ)/2, (yₐ + yᵦ)/2)
الحساب:
x_M = (2 + (-1))/2 = 1/2
y_M = (3 + 4)/2 = 7/2
x = 3√8 + 2√18 - √50
y = (√6 + √2)(√6 - √2)
المعطى: x = 3√8 + 2√18 - √50
الخطوة 1: نحلل كل جذر
√8 = √(4×2) = 2√2
√18 = √(9×2) = 3√2
√50 = √(25×2) = 5√2
الخطوة 2: نعوض
x = 3(2√2) + 2(3√2) - 5√2
x = 6√2 + 6√2 - 5√2
x = (6 + 6 - 5)√2
المعطى: y = (√6 + √2)(√6 - √2)
نطبق: (a + b)(a - b) = a² - b²
y = (√6)² - (√2)²
y = 6 - 2
حساب x²:
x = 7√2
x² = (7√2)²
x² = 49 × 2
حساب y²:
y = 4
y² = 4²
حساب x² - y²:
x² - y² = 98 - 16
المعطى: 4(x - 2) = 3(2x + 1)
الخطوة 1: ننشر
4x - 8 = 6x + 3
الخطوة 2: ننقل الحدود
4x - 6x = 3 + 8
-2x = 11
الخطوة 3: نقسم على -2
x = -11/2
التحقق:
4(-5.5 - 2) = 4(-7.5) = -30
3(2(-5.5) + 1) = 3(-11 + 1) = 3(-10) = -30 ✓
المعطى: (3x + 5)² = 0
الملاحظة: مربع يساوي صفر ⟺ الأساس يساوي صفر
3x + 5 = 0
3x = -5
x = -5/3
التحقق:
(3(-5/3) + 5)² = (-5 + 5)² = 0² = 0 ✓
المعطى: 2x - 7 < x + 3
الخطوة 1: ننقل الحدود
2x - x < 3 + 7
x < 10
تفسير: جميع الأعداد الحقيقية الأصغر قطعا من 10
المعطى: A = 4x² - 9
الملاحظة: فرق بين مربعين
A = (2x)² - 3²
نطبق: a² - b² = (a + b)(a - b)
المعطى: B = x² + 6x + 9
الملاحظة: مربع كامل
نتحقق: هل 6x = 2 × x × 3 ؟ نعم ✓
نطبق: a² + 2ab + b² = (a + b)²
B = x² + 2(x)(3) + 3²
المعطى: C = (x + 2)² - 25
الملاحظة: فرق بين مربعين
C = (x + 2)² - 5²
نضع: A = x + 2 و B = 5
C = A² - B²
C = (A + B)(A - B)
C = [(x + 2) + 5][(x + 2) - 5]
C = (x + 7)(x - 3)
a = √3 + 1
المعطى: a = √3 + 1
تعريف: مترافق (a + b) هو (a - b)
نحسب:
a × (√3 - 1) = (√3 + 1)(√3 - 1)
نطبق: (a + b)(a - b) = a² - b²
= (√3)² - 1²
= 3 - 1
= 2
من السؤال السابق:
a × (√3 - 1) = 2
نقسم الطرفين على a:
√3 - 1 = 2/a
إذن:
1/a = (√3 - 1)/2
ملاحظة: يمكن أيضا كتابته: (√3 - 1)/2
📚 التمارين المغطاة: 7 تمارين مفصلة
📄 الصفحات: 229-230، 235
📝 المواضيع:
🎓 جميع الحلول مفصلة خطوة بخطوة!