🎓 تمارين الرياضيات - الجزء الرابع والأخير (4/4)

المعطى: F = (x + 3)² - (x + 3)(2x - 1)

الخطوة 1: ننشر (x + 3)²

(x + 3)² = x² + 6x + 9

الخطوة 2: ننشر (x + 3)(2x - 1)

(x + 3)(2x - 1) = 2x² - x + 6x - 3

= 2x² + 5x - 3

الخطوة 3: نعوض في F

F = (x² + 6x + 9) - (2x² + 5x - 3)

F = x² + 6x + 9 - 2x² - 5x + 3

F = -x² + x + 12

المعطى: F = (x + 3)² - (x + 3)(2x - 1)

الطريقة: نخرج العامل المشترك (x + 3)

F = (x + 3)[(x + 3) - (2x - 1)]

F = (x + 3)[x + 3 - 2x + 1]

F = (x + 3)[-x + 4]

F = (x + 3)(4 - x)

نستعمل الشكل المحلل:

F = (x + 3)(4 - x)

نعوض x = √2:

F = (√2 + 3)(4 - √2)

ننشر:

F = √2 × 4 - √2 × √2 + 3 × 4 - 3 × √2

F = 4√2 - 2 + 12 - 3√2

F = √2 + 10

المعطى: a = √72 - 3√8 + √32

الخطوة 1: نحلل كل جذر

√72 = √(36×2) = 6√2

√8 = √(4×2) = 2√2

√32 = √(16×2) = 4√2

الخطوة 2: نعوض

a = 6√2 - 3(2√2) + 4√2

a = 6√2 - 6√2 + 4√2

a = (6 - 6 + 4)√2

المعطى: b = (2√5 + 1)(2√5 - 1)

نطبق: (a + b)(a - b) = a² - b²

b = (2√5)² - 1²

b = 4 × 5 - 1

b = 20 - 1

النتائج المحصل عليها:

a = 4√2

b = 19

نجمع:

a + b = 4√2 + 19

الخطوة 1: ننقل الحدود

7x - 3x = 11 + 5

4x = 16

الخطوة 2: نقسم على 4

x = 16 ÷ 4

التحقق: 7(4) - 5 = 28 - 5 = 23 و 3(4) + 11 = 12 + 11 = 23 ✓

الطريقة: نحلل باستخدام الفرق بين مربعين

x² - 16 = 0

x² - 4² = 0

(x - 4)(x + 4) = 0

إذن:

الحالة 1: x - 4 = 0 ⟹ x₁ = 4

الحالة 2: x + 4 = 0 ⟹ x₂ = -4

قاعدة: جداء يساوي صفر ⟺ أحد العوامل يساوي صفر

الحالة 1: x - 5 = 0

x₁ = 5

الحالة 2: 2x + 3 = 0

2x = -3

x₂ = -3/2

المعطيات:

• AB = 7 cm
• AC = 24 cm
• BC = 25 cm

نتحقق من مبرهنة فيثاغورس:

BC² = 25² = 625

AB² + AC² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625

نلاحظ أن: BC² = AB² + AC²

قاعدة: مساحة المثلث القائم = (القاعدة × الارتفاع) ÷ 2

المساحة = (AB × AC) ÷ 2

المساحة = (7 × 24) ÷ 2

المساحة = 168 ÷ 2

المعطى: M منتصف [BC]

خاصية: في مثلث قائم، طول المتوسط المنطلق من الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر

AM = BC ÷ 2

AM = 25 ÷ 2

قاعدة: محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه

المحيط = AB + AC + BC

المحيط = 7 + 24 + 25

المعطيات:

• ABCD مربع طول ضلعه 6 cm
• M على [AB]
• AM = 2 cm

بما أن M على [AB]:

AB = AM + MB

6 = 2 + MB

MB = 6 - 2

نعتبر المثلث MBC:

• المثلث MBC قائم في B (لأن ABCD مربع)
• MB = 4 cm
• BC = 6 cm (ضلع المربع)

نطبق مبرهنة فيثاغورس:

MC² = MB² + BC²

MC² = 4² + 6²

MC² = 16 + 36

MC² = 52

MC = √52 = √(4×13) = 2√13

طريقة: نستعمل قاعدة المثلث

المثلث AMC له قاعدة AM وارتفاع مساو لضلع المربع (عمودي من C على AB)

المساحة = (AM × الارتفاع) ÷ 2

المساحة = (2 × 6) ÷ 2

المساحة = 12 ÷ 2

قاعدة: مساحة المربع = (طول الضلع)²

المساحة = 6²

المساحة = 36

نبحث عن مقلوب: 5 - √5

الطريقة: نضرب في المترافق ونقسم عليه

1/(5-√5) = (5+√5)/[(5-√5)(5+√5)]

= (5+√5)/(25-5)

= (5+√5)/20

ملاحظة: لا يوجد في الاختيارات، لنتحقق من الصيغة الأخرى

إذا كان السؤال عن √5 - 5:

1/(√5-5) = (√5+5)/[(√5-5)(√5+5)]

= (√5+5)/(5-25) = (√5+5)/(-20) = -(√5+5)/20

المعطى: (-2+√5)(-√2+3)

نحدد إشارة كل عامل:

√5 ≈ 2.236

-2 + √5 ≈ -2 + 2.236 = 0.236 > 0 (موجب)

√2 ≈ 1.414

-√2 + 3 ≈ -1.414 + 3 = 1.586 > 0 (موجب)

جداء عددين موجبين = عدد موجب

المعطى: (1/√3)²

الحساب:

(1/√3)² = 1²/(√3)²

= 1/3

ملاحظة: الخيار 4/3 خاطئ

المعطى: a = √50 + √27 - √2(2 + 3√6/2)

الخطوة 1: نبسط الجذور

√50 = √(25×2) = 5√2

√27 = √(9×3) = 3√3

الخطوة 2: ننشر √2(2 + 3√6/2)

√2(2 + 3√6/2) = 2√2 + (3√2×√6)/2

= 2√2 + 3√12/2

= 2√2 + 3(2√3)/2

= 2√2 + 3√3

الخطوة 3: نعوض في a

a = 5√2 + 3√3 - (2√2 + 3√3)

a = 5√2 + 3√3 - 2√2 - 3√3

a = 3√2

نلاحظ أن:

√6(√3-√2) = √6×√3 - √6×√2

= √18 - √12

= 3√2 - 2√3

المعطى: b = (12+5√6)/(√3+√2)

الطريقة: نضرب البسط والمقام في المترافق

b = [(12+5√6)(√3-√2)]/[(√3+√2)(√3-√2)]

المقام:

(√3+√2)(√3-√2) = 3 - 2 = 1

البسط:

(12+5√6)(√3-√2)

= 12√3 - 12√2 + 5√6×√3 - 5√6×√2

= 12√3 - 12√2 + 5√18 - 5√12

= 12√3 - 12√2 + 15√2 - 10√3

= 2√3 + 3√2

نريد إثبات: 1/(√3-√2) = √3+√2

الطريقة: نضرب في المترافق

1/(√3-√2) = (√3+√2)/[(√3-√2)(√3+√2)]

= (√3+√2)/(3-2)

= (√3+√2)/1

= √3+√2