سؤال 1: تعيين النقطتين A و C وحساب منتصف [AC]

💡 مؤشر

لاحظ أن:

تعيين النقاط يعني تحديد إحداثياتها مباشرة من المعطيات.
صيغة منتصف قطعة مستقيمة: إذا كانت النقطتان \( A(x_1, y_1) \) و \( C(x_2, y_2) \)، فإن منتصف \( [AC] \) هو \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \).

📝 الطريقة

تعيين النقطتين:

النقطة \( A(5,4) \) والنقطة \( C(-3,-2) \).

حساب منتصف [AC]:

طبق صيغة المنتصف: \( x_P = \frac{x_A + x_C}{2} \), \( y_P = \frac{y_A + y_C}{2} \).

✅ الحل الكامل

تعيين النقطتين:

النقطة \( A(5,4) \) والنقطة \( C(-3,-2) \).

حساب إحداثيات النقطة P منتصف [AC]:

\( x_P = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).

\( y_P = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).

إذن، إحداثيات النقطة \( P \) هي \( (1, 1) \).

سؤال 2: تعيين النقطتين B و D وإثبات أن ABCD متوازي أضلاع

💡 مؤشر

لاحظ أن:

للرباعي أن يكون متوازي أضلاع، يجب أن تكون القطران لهما نفس المنتصف.
القطران هما [AC] و [BD].
استخدم إحداثيات النقاط للتحقق من أن منتصف [AC] يساوي منتصف [BD].

📝 الطريقة

تعيين النقطتين:

النقطة \( B(2,-3) \) والنقطة \( D(0,5) \).

إثبات أن ABCD متوازي أضلاع:

احسب منتصف القطر [BD] وقارنه بمنتصف [AC].

صيغة المنتصف: \( \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) \).

✅ الحل الكامل

تعيين النقطتين:

النقطة \( B(2,-3) \) والنقطة \( D(0,5) \).

إثبات أن ABCD متوازي أضلاع:

منتصف القطر [AC] هو النقطة \( P(1, 1) \).

نحسب منتصف القطر [BD]:

\( x_{\text{منتصف}} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{2 + 0}{2} = 1 \).

\( y_{\text{منتصف}} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \).

منتصف [BD] هو أيضًا النقطة \( (1, 1) \).

بما أن للقطرين نفس المنتصف، فإن الرباعي ABCD متوازي أضلاع.

سؤال 3: إحداثيات النقطة C' وإثبات أن المثلث DCC' متقايس الضلعين

💡 مؤشر

لاحظ أن:

التناظر بالنسبة لمحور التراتيب (OJ) يحوّل \( (x,y) \) إلى \( (-x,y) \).
محور التناظر (OJ) هو الموسط العمودي للقطعة [CC'].
إذا كانت D على محور التناظر، فإن \( DC = DC' \).

📝 الطريقة

إيجاد إحداثيات C':

طبق التناظر بالنسبة لمحور التراتيب على \( C(-3,-2) \).

إثبات أن DCC' متقايس الضلعين:

تحقق من أن D تقع على محور التراتيب (OJ) وأن (OJ) هو الموسط العمودي لـ [CC'].

✅ الحل الكامل

إحداثيات النقطة C':

التناظر بالنسبة لمحور التراتيب (OJ) يحوّل \( (x,y) \) إلى \( (-x,y) \).

لدينا \( C(-3,-2) \).

\( C' = (-(-3), -2) = (3, -2) \).

إذن، إحداثيات C' هي \( (3, -2) \).

تبيين أن المثلث DCC' متقايس الضلعين:

النقطة \( D(0,5) \) فاصلتها 0، إذن D تنتمي إلى محور التراتيب (OJ).

محور التناظر (OJ) هو الموسط العمودي للقطعة [CC'].

بما أن D تنتمي لهذا الموسط العمودي، فإنها متساوية البعد عن طرفي القطعة، أي \( DC = DC' \).

إذن، المثلث DCC' متقايس الضلعين في الرأس D.

سؤال 4: مجموعة النقاط M و N

💡 مؤشر

لاحظ أن:

الشرط \( y = -2 \), \( -3 \le x \le 3 \) يحدد قطعة مستقيمة هو مستقيم مواز لـ (OI)ة.
الشرط \( x = 0 \), \( y \le 5 \) يحدد نصف مستقيم عمودي.
ربط الشروط بالنقاط المعطاة (مثل C و D).

📝 الطريقة

مجموعة النقاط M:

الشروط \( y = -2 \), \( -3 \le x \le 3 \) تحدد قطعة مستقيمة هو مستقيم مواز لـ (OI)ة.

مجموعة النقاط N:

الشروط \( x = 0 \), \( y \le 5 \) تحدد نصف مستقيم عمودي على محور التراتيب.

✅ الحل الكامل

مجموعة النقاط M:

الشروط \( y = -2 \), \( -3 \le x \le 3 \) تحدد جميع النقاط التي ترتيبها -2 وفاصلتها بين -3 و 3.

هذه النقاط تشكل القطعة المستقيمة [CC'].

مجموعة النقاط N:

الشروط \( x = 0 \), \( y \le 5 \) تحدد جميع النقاط على محور التراتيب التي ترتيبها أصغر من أو يساوي 5.

هذه المجموعة هي نصف المستقيم الذي أصله D و حامله (OJ) ولا يحتوي على النقطة J.

الإحداثيات في المستوي

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي

الإحداثيات، المنتصف، ومتوازي الأضلاع

تمرين 36

نعتبر معيّنا متعامدا في المستوي \((O,I,J)\).

عيّن النقطتين \( A(5,4) \) و \( C(-3,-2) \).
احسب إحداثيات النقطة P منتصف [AC] ثم عيّنها.
عيّن النقطتين \( B(2,-3) \) و \( D(0,5) \).
1. بيّن أنّ الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
لتكن النقطة 'C مناظرة C بالنسبة إلى محور التراتيب (OJ).
1. ما هي إحداثيات النقطة 'C ؟
2. بيّن أنّ المثلث DCC' متقايس الضلعين.
1. ما هي مجموعة النقاط \(M(x,y)\) بحيث \(y=-2\) و \( -3 \le x \le 3 \) ؟
2. ما هي مجموعة النقاط \(N(x,y)\) بحيث \(x=0\) و \( y \le 5 \) ؟

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لمنتصف قطعة: تذكر القاعدة \( x_P = \frac{x_A + x_C}{2} \) و \( y_P = \frac{y_A + y_C}{2} \).
لمتوازي الأضلاع: ما هي الخاصية التي تربط بين قطري متوازي الأضلاع؟ فكر في منتصفيهما.
للتناظر المحوري: كيف تتغير إحداثيات نقطة \( (x,y) \) عند مناظرتها بالنسبة لمحور التراتيب (OJ)؟
للمثلث متقايس الضلعين: إذا كانت نقطة D تنتمي للموسط العمودي لقطعة ['CC]، فماذا يمكن أن تستنتج بخصوص المسافتين DC و 'DC؟
لمجموعات النقاط: ترجم الشروط. \(y=-2\) يمثل مستقيما هو مستقيم مواز لـ (OI)ا، و \(x=0\) يمثل مستقيما عموديا (محور التراتيب).

📝 الطريقة

2) إحداثيات P منتصف [AC]:
طبق مباشرة قاعدة المنتصف على إحداثيات A و C.

3) إثبات أن ABCD متوازي أضلاع:
لقد حسبت منتصف القطر [AC] في السؤال السابق. الآن، قم بحساب إحداثيات منتصف القطر الثاني [BD]. إذا كانت النتيجتان متطابقتين، فالرباعي متوازي أضلاع.

4) دراسة النقطة 'C والمثلث DCC':
أ- طبق قاعدة التناظر بالنسبة للمحور (OJ) على النقطة C: \( (x,y) \rightarrow (-x,y) \).
ب- تحقق أولاً أن النقطة D تنتمي إلى محور التناظر (OJ) (لاحظ فاصلتها). بما أن محور التناظر هو الموسط العمودي لـ ['CC]، استنتج تساوي المسافتين DC و 'DC.

5) تحديد مجموعات النقاط:
أ- الشرطان \(y=-2\) و \( -3 \le x \le 3 \) يصفان قطعة مستقيمة هو مستقيم مواز لـ (OI)ة. حدد نقطتي البداية والنهاية لهذه القطعة.
ب- الشرطان \(x=0\) و \( y \le 5 \) يصفان جزءاً من محور التراتيب. حدد نقطة البداية واتجاه هذا الجزء.

✅ الحل الكامل

2) إحداثيات النقطة P منتصف [AC]:

نطبق قاعدة حساب إحداثيات المنتصف:

\( x_P = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( y_P = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

إذن، إحداثيات النقطة P هي \( (1, 1) \).

3) تبيين أن الرباعي ABCD متوازي أضلاع:

يكون الرباعي متوازي أضلاع إذا كان لقطريه [AC] و [BD] نفس المنتصف.
- منتصف القطر [AC] هو النقطة \( P(1, 1) \).
- نحسب منتصف القطر [BD]:

\( x_{\text{منتصف}} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( y_{\text{منتصف}} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

منتصف [BD] هو أيضا النقطة \( (1, 1) \). بما أن للقطرين نفس المنتصف، فإن الرباعي ABCD متوازي أضلاع.

4) أ- إحداثيات النقطة 'C:

التناظر بالنسبة لمحور التراتيب (OJ) يحوّل \( (x,y) \) إلى \( (-x,y) \). لدينا \( C(-3,-2) \).

\( C' = (-(-3), -2) = (3, -2) \). إحداثيات 'C هي \( (3, -2) \).

4) ب- تبيين أن المثلث DCC' متقايس الضلعين:

النقطة \( D(0,5) \) فاصلتها 0، إذن D تنتمي إلى محور التراتيب (OJ). محور التناظر (OJ) هو الموسط العمودي للقطعة ['CC]. بما أن D تنتمي لهذا الموسط العمودي، فإنها متساوية البعد عن طرفي القطعة، أي \( DC = DC' \). إذن، المثلث DCC' متقايس الضلعين في الرأس D.

5) أ- مجموعة النقاط M:

الشروط \(y=-2\) و \( -3 \le x \le 3 \) تحدد جميع النقاط التي ترتيبها -2 وفاصلتها بين -3 و 3. هذه النقاط تشكل القطعة المستقيمة ['CC].

5) ب- مجموعة النقاط N:

الشروط \(x=0\) و \( y \le 5 \) تحدد جميع النقاط على محور التراتيب التي ترتيبها أصغر من أو يساوي 5. هذه المجموعة هي نصف المستقيم الذي أصله D و حامله (OJ) ولا يحتوي على النقطة J.