فرض مراقبة عدد 2

الحل: نكتب 27 في صيغة قوة أساسها 3: 27 = 3³

27²×3⁴ = (3³)²×3⁴

= 3³ˣ²×3⁴

= 3⁶×3⁴

= 3⁶⁺⁴

= 3¹⁰

الإجابة الصحيحة: لا يوجد بين الخيارات المذكورة (3⁶، 9⁸، 5³).

ملاحظة: إذا كان السؤال يقصد أحد الخيارات، فقد يكون هناك خطأ في صياغة السؤال أو الخيارات. أقرب إجابة محتملة هي 3⁶ في حال كان الأصل 27² × 3⁻².

نعتبر أن الإجابة الصحيحة هي 3¹⁰

الحل: نحسب قيمة كل قوة ثم نجمع النتائج.

1³ = 1×1×1 = 1

2³ = 2×2×2 = 8

3³ = 3×3×3 = 27

1³+2³+3³ = 1 + 8 + 27

= 9 + 27

= 36

الإجابة الصحيحة: 36

الخطوة 1: حساب طول قاعدة المثلث BCD (الضلع HC)

DC = DH + HC

6cm = 3cm + HC

HC = 6 - 3 = 3cm

الخطوة 2: حساب ارتفاع المثلث BCD (الضلع BH)

الارتفاع هو BH = 4cm (نفس ارتفاع شبه المنحرف)

الخطوة 3: حساب مساحة المثلث BCD

المساحة = (القاعدة × الارتفاع)/2

المساحة = (DC × BH)/2 (هذا غير صحيح، يجب أن يكون الارتفاع عمودي على الضلع DC)

بما أن B هي الرأس الأعلى، فإن الارتفاع العمودي على (DC) هو BH حيث H نقطة على (DC)

المساحة = (HC × BH)/2 (إذا كانت القاعدة HC)

نأخذ القاعدة DC = 6cm والارتفاع العمودي عليها هو BH = 4cm

المساحة = (DC × ارتفاع المثلث)/2

المساحة = (6 × 4)/2

المساحة = 24/2

المساحة = 12cm²

ملاحظة: بالنظر إلى الخيارات، لا يوجد 12cm². ربما المقصود مساحة المثلث ABC أو ABD.

بما أن H نقطة على DC، فإن ارتفاع المثلث BCD بالنسبة للقاعدة DC هو BH (خارج المثلث في هذه الحالة، لكن BH = 4cm).

المساحة = (DC × BH)/2 = (6 × 4)/2 = 12cm²

بالنظر إلى الخيارات (9cm²، 18cm²، 6cm²) لا توجد الإجابة 12cm².

قد يكون المقصود مساحة ABC أو ABD (وهي (4 × 3)/2 = 6cm²)

نعتبر أن السؤال يحتوي خطأ، ونتجاهل وجود الضلع BC=5cm الذي لا نحتاجه للحساب.

نختار 18cm² كإجابة خاطئة محتملة (ضعف مساحة المثلث BCD).

لكننا نعتمد الجواب الصحيح 12cm² غير الموجود.

الحل: 1 مليون = 10⁶

1 كيلومتر (km) = 1000 متر (m) = 10³m

17 مليون كلم = 17×10⁶km

للتحويل إلى متر، نضرب في 10³

17×10⁶km = 17×10⁶×10³m

= 17×10⁶⁺³m

= 17×10⁹m

الإجابة الصحيحة: 17×10⁹

الحل: قانون مساحة المربع: المساحة = (طول الضلع)²

36 = (طول الضلع)²

36 = 6²

إذن طول الضلع يساوي 6cm

الإجابة الصحيحة: 6cm

a=29×5⁴-13×5⁴

نلاحظ أن 5⁴ عامل مشترك.

a=(29-13)×5⁴

a=16×5⁴

a=16×625

a=10000

الجواب النهائي: a=10000

b=(3³-5²)⁴-1¹⁵×26⁰

نحسب ما داخل القوس: 3³ = 27 و 5² = 25

b=(27-25)⁴-1¹⁵×26⁰

b=(2)⁴-1¹⁵×26⁰

نحسب القوى: 2⁴ = 16، 1¹⁵ = 1، 26⁰ = 1

b=16-1×1

b=16-1

b=15

الجواب النهائي: b=15

c=(3²-√64)⁷+(7⁵×0)³

نحسب ما داخل القوس الأول: 3² = 9 و √64 = 8

c=(9-8)⁷+(7⁵×0)³

نحسب ما داخل القوس الثاني: 7⁵×0 = 0

c=(1)⁷+(0)³

c=1+0

c=1

الجواب النهائي: c=1

d=3³-10⁰×11+5¹⁶×0⁴

نحسب القوى: 3³ = 27، 10⁰ = 1، 0⁴ = 0

d=27-1×11+5¹⁶×0

d=27-11+0

d=16

الجواب النهائي: d=16

المعادلة الأولى: 5²×5⁴×27²=15....

الطرف الأيسر:

5²×5⁴×27²

= 5²⁺⁴×(3³)²

= 5⁶×3⁶

= (5×3)⁶

= 15⁶

مقارنة مع الطرف الأيمن: 15⁶=15....

الجواب: 5²×5⁴×27²=15⁶

---

المعادلة الثانية: 3⁵×7....=3....×21³

نبدأ بتبسيط الطرف الأيمن:

3....×21³ = 3....×(3×7)³

= 3....×3³×7³

= 3(....+3)×7³

نقارن بالطرف الأيسر: 3⁵×7.... = 3(....+3)×7³

مقارنة أسس الأساس 3: 5 = .... + 3

الفراغ الأول في الطرف الأيمن: 5-3 = 2

مقارنة أسس الأساس 7: .... = 3

الجواب: 3⁵×7³=3²×21³

العبارة I: I=2³+2³+2³+2³

I = 4×2³

I = 2²×2³

I = 2²⁺³

I = 2⁵

الجواب: I=2⁵

---

العبارة J: J=125×20³×100¹³

نكتب كل عدد في صيغة قوة أساسها أولي:

125 = 5³

20 = 4×5 = 2²×5

100 = 10² = (2×5)² = 2²×5²

J=5³×(2²×5)³×(2²×5²)¹³

J=5³×(2²)³×5³×(2²)¹³×(5²)¹³

J=5³×2⁶×5³×2²⁶×5²⁶

نجمع الأسس للأساس 2:

2⁶×2²⁶ = 2⁶⁺²⁶ = 2³²

نجمع الأسس للأساس 5:

5³×5³×5²⁶ = 5³⁺³⁺²⁶ = 5³²

J=2³²×5³²

J=(2×5)³²

J=10³²

الجواب: J=10³²

المعطيات: ∠xOv زاوية منبسطة (180°) و [Oy) منصف الزاوية ∠xOz

الحل:

[Oy) منصف ∠xOz تعني أن ∠xOy = ∠yOz

بما أن ∠xOy = 32°

إذن ∠zOy = 32°

الجواب: ∠zOy = 32°

ملاحظة: النقطة t غير معرّفة في المعطيات. بناءً على الشكل المرفق في الـ PDF (الزاوية xOv منبسطة)، ربما المقصود هو xOy و yOv متكاملتان (مجموعهما 180°)

نعتبر السؤال به خطأ طباعي، ونحاول إيجاد استنتاج مناسب:

نحسب ∠xOz: ∠xOz = ∠xOy + ∠yOz = 32° + 32° = 64°

الاستنتاج الصحيح بناءً على معطى المنبسطة:

بما أن ∠xOv = 180°

إذن الزاويتان ∠xOz و ∠zOv متكاملتان.

وقيس ∠zOv = 180° - 64° = 116°

نفرض أن المقصود هو ∠zOv و ∠xOz متكاملتان.

المعطيات: [Ou) منصف الزاوية ∠xOy

∠xOu = ∠uOy = ∠xOy/2 = 32°/2 = 16°

القيس ∠uOz = ∠uOy + ∠yOz

∠uOz = 16° + 32°

∠uOz = 48°

الجواب: ∠uOz = 48°

ملاحظة: الشعاع [Or) غير معرّف بعد في هذا الجزء.

زاويتان متتامتان تعني أن مجموعهما 90°.

∠xOy = 32°

لذا يجب أن يكون ∠zOr = 90° - 32° = 58°

نعتبر هذا الجزء غير قابل للحل دون تعريف [Or) أو قد يكون خطأ طباعي.

المعطى: ∠yOr = 180°. هذا يعني أن (Or) و (Oy) على استقامة واحدة. (أي أن r على استقامة O و y)

لكن هذا يتناقض مع كون ∠xOv = 180° (زاوية منبسطة)

نعتبر خطأ طباعي وأن المقصود ∠uOr = 90° (لتكون (Or) ⊥ (Ou))

بافتراض أن ∠uOr = 90°:

هذا يقتضي أن (Or) ⊥ (Ou)

المعطيات: الدائرة التي قطرها [OB]. النقطة A على [Ox)، C على [Oz).

A و C على الدائرة التي قطرها [OB].

الاستنتاجات:

1) بما أن [OB] قطر الدائرة وتمر من A و C، إذن: △OAB و △OCB قائما الزاوية في A و C على التوالي (خاصية مثلث مرسوم في نصف دائرة)

2) لدينا OA = OC (معطى)

3) المثلث △OAC متقايس الضلعين قمته الرئيسية O (لأن OA = OC)

4) △OAB يطابق △OCB (حالة الوتر والضلع القائم: OB وتر مشترك، OA=OC ضلع، ∠OAB = ∠OCB = 90°)

5) من التطابق، نستنتج أن AB = CB

6) في المثلث △ABC: لدينا AB = CB، إذن هو متقايس الضلعين قمته الرئيسية B

7) (OB) هو **الموسط** (أو **الموسط** كما فضلت) العمودي للقطعة [AC] لأنه يمر من نقطتين O و B تبعدان نفس المسافة عن طرفي القطعة [AC] (OA=OC و BA=BC)

8) وبما أن OA = OC فإن O تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [AC]

9) وبما أن BA = BC فإن B تنتمي إلى الموسط العمودي لـ [AC]

10) المستقيم المار من نقطتين تنتميان إلى الموسط العمودي هو الموسط العمودي نفسه.

الجواب: المستقيم (OB) هو **الموسط** العمودي للقطعة [AC]