📝 فرض مراقبة عدد 1 في الرياضيات 📝

🏫 المدرسة الإعدادية النموذجية ضفاف البحيرة
📚 السابعة أساسي - إعداد الأستاذ : فوزي الغربي
🚀 التمرين رقم 1: اختر الإجابة الصحيحة (3 أسئلة) 🚀
🎯 اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الإجابات التالية:
1. النقاط A و B و C تمثل رؤوسا لمثلث في حالة:
أ) الأبعاد: AB=2cm و AC=3cm و BC=25m
ب) الأبعاد: AB=31m و AC=57m و BC=48m ✨
ج) الأبعاد: AB=3m و AC=57m و BC=26m

الإجابة الصحيحة هي: ب) 🎯

الشرح: لتمثل النقاط رؤوس مثلث، يجب أن يتحقق شرط المتباينة المثلثية: مجموع طولي أي ضلعين يجب أن يكون أكبر من طول الضلع الثالث. 🧠

  • في الحالة (أ): 2 + 3 = 5 وهي أصغر من 25 (لا يحقق).
  • في الحالة (ب): 31 + 48 = 79 > 57، و 31 + 57 = 88 > 48، و 48 + 57 = 105 > 31 (يحقق).
  • في الحالة (ج): 3 + 26 = 29 وهي أصغر من 57 (لا يحقق).
2. من بين الأعداد التالية، العدد العشري الذي يكون رقم الأجزاء من الأعشار فيه مضاعف رقم آحاده هو:
أ) 23,651 ✨
ب) 14,572
ج) 71,483

الإجابة الصحيحة هي: أ) 23,651 🎯

الشرح: نحدد رقم الآحاد ورقم الأجزاء من الأعشار لكل عدد: 🕵️‍♂️

  • (أ) 23,651: رقم الآحاد هو 3. رقم الأجزاء من الأعشار هو 6. بما أن 6 = 2 \times 3، فإن 6 مضاعف لـ 3. ✅
  • (ب) 14,572: رقم الآحاد هو 4. رقم الأجزاء من الأعشار هو 5. 5 ليس مضاعفاً لـ 4. ❌
  • (ج) 71,483: رقم الآحاد هو 1. رقم الأجزاء من الأعشار هو 4. 4 مضاعف لـ 1. (في حالة وجود أكثر من إجابة صحيحة، يجب تعديل الخيارات). سنعتبر الخيار (أ) هو المقصود من السؤال لوجوده في النص الأصلي.
3. نعتبر العددين a=2^{2}\times5^{2}\times11 و b=2^{3}\times5^{2}\times7. إذن م.م.أ (a,b) يساوي:
أ) 2^{3}\times5^{2}\times77 ✨
ب) 2^{2}\times5^{2}\times77
ج) 2^{2}\times5^{2}

الإجابة الصحيحة هي: أ) 2^{3}\times5^{2}\times77 🎯

الشرح: لحساب المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ)، نأخذ كل العوامل الأولية المشتركة وغير المشتركة بأكبر أس: 🧠

a = 2^{2} \times 5^{2} \times 11
b = 2^{3} \times 5^{2} \times 7
م.م.أ (a,b) = 2^{\max(2,3)} \times 5^{\max(2,2)} \times 7^{\max(0,1)} \times 11^{\max(1,0)}
= 2^{3} \times 5^{2} \times 7 \times 11
= 2^{3} \times 5^{2} \times 77 (حيث 7 \times 11 = 77) ✅
🎪 التمرين رقم 2 (تطبيقات قابلية القسمة والقوى) 🎪
1. ضع الرقم المناسب مكان النقاط ليصبح العدد \overline{8 \bullet \bullet 0} قابلاً للقسمة على 3 و 4 و 25. قدم جميع الحلول الممكنة.

الشرح: العدد هو N = \overline{8 a b 0} حيث a هو رقم المئات و b هو رقم العشرات. 🕵️‍♂️

  1. قابلية القسمة على 25: بما أن رقم الآحاد هو 0، فيجب أن يكون العدد المكون من رقمي العشرات والآحاد (\overline{b 0}) هو 00 أو 50.
  2. قابلية القسمة على 4: يجب أن يكون العدد المكون من رقمي العشرات والآحاد (\overline{b 0}) قابلاً للقسمة على 4.
    • إذا كان \overline{b 0} = 50: 50 \div 4 لا يقبل القسمة. ❌
    • إذا كان \overline{b 0} = 00: 00 \div 4 = 0 (يقبل القسمة). ✅
    إذن، يجب أن يكون رقم العشرات b = 0. العدد يصبح: \overline{8 a 0 0}.
  3. قابلية القسمة على 3: يجب أن يكون مجموع الأرقام مضاعفاً لـ 3.
    مجموع الأرقام = 8 + a + 0 + 0 = 8 + a
    نجرب قيم a (من 0 إلى 9):
    • إذا كان 8 + a = 9: فإن a = 1. العدد: 8100.
    • إذا كان 8 + a = 12: فإن a = 4. العدد: 8400.
    • إذا كان 8 + a = 15: فإن a = 7. العدد: 8700.

الحلول الممكنة هي: 8100، 8400، 8700. ✅

2. بين أن المجموع 16^{3}+2^{10} يقبل القسمة على 5.

الحل: نستخدم توحيد الأساس 2 والتحليل إلى عوامل. 🛠️

16^{3}+2^{10} = (2^{4})^{3} + 2^{10}
= 2^{12} + 2^{10}
نخرج العامل المشترك 2^{10}:
= 2^{10} \times (2^{2} + 1)
= 2^{10} \times (4 + 1)
= 2^{10} \times 5

بما أن المجموع يكتب على شكل جذاء يحتوي على العامل 5، فإنه يقبل القسمة على 5. ✅

🔬 التمرين رقم 3 (جذاء العوامل الأولية والقواسم والمضاعفات) 🔬
نعتبر العددين a=2^{3}\times9 و b=162.
1. أ- فكك العددين a و b إلى جذاء عوامل أولية.
a = 2^{3} \times 9 = 2^{3} \times 3^{2} ✅
b = 162 = 2 \times 81 = 2 \times 9^{2} = 2 \times (3^{2})^{2} = 2^{1} \times 3^{4} ✅
ب- بين أن الجذاء a \times b هو مربع كامل.
a \times b = (2^{3} \times 3^{2}) \times (2^{1} \times 3^{4})
= 2^{3+1} \times 3^{2+4}
= 2^{4} \times 3^{6}

بما أن جميع أسس العوامل الأولية (4 و 6) زوجية، فإن الجذاء a \times b هو مربع كامل. (ويساوي: (2^{2} \times 3^{3})^{2}) ✅

ج - أحسب ق.م.أ (a,b) و م.م.أ (a,b).

حساب ق.م.أ (a,b) (القاسم المشترك الأكبر): نأخذ العوامل المشتركة بأصغر أس.

ق.م.أ (a,b) = 2^{\min(3,1)} \times 3^{\min(2,4)}
= 2^{1} \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18 ✅

حساب م.م.أ (a,b) (المضاعف المشترك الأصغر): نأخذ العوامل بأكبر أس.

م.م.أ (a,b) = 2^{\max(3,1)} \times 3^{\max(2,4)}
= 2^{3} \times 3^{4} = 8 \times 81 = 648 ✅
2. لتلميذ ورقة مقوّاة على شكل مستطيل بعداها a و b بحساب الصنتمتر أراد تقسيمها إلى قطع مربعة الشكل و متقايسة دون إتلاف أي جزء من الورقة. أوجد معللاً جوابك طول ضلع المربع إذا علمت أنه محصور بين 8 و 12 صنتمتراً.

الحل: يجب أن يكون طول ضلع المربع قاسماً مشتركاً للبعدين a=72 و b=162. 📐

  • القواسم المشتركة للعددين a و b هي قواسم ق.م.أ (a,b) = 18.
  • قواسم العدد 18 هي: 1، 2، 3، 6، 9، 18.
  • بما أن طول الضلع محصور بين 8 و 12 سنتمتراً ، فإن القاسم الوحيد الذي يحقق هذا الشرط هو 9.

طول ضلع المربع هو 9 سنتمترات. ✅

3. أوجد معللاً جوابك العدد الجملي لتلاميذ السنوات التاسعة بهذه المدارس إذا علمت أنه محصور بين 3000 و 3500 وأنّ 37 تلميذاً عبروا عن عدم رغبتهم في اجتياز المناظرة. (المعطى الأول: تقسيم إلى مجموعات ذات 72 تلميذاً وكانت المجموعة الأخيرة تضم 37 تلميذاً. المعطى الثاني: تقسيم الذين عبروا عن رغبتهم في المناظرة إلى مجموعات ذات 162 تلميذاً ).

الحل: نستخدم المضاعف المشترك الأصغر (م.م.أ). 🧠

  • ليكن N هو العدد الجملي للتلاميذ.
  • من المعطى الأول: بما أن المجموعة الأخيرة ضمت 37 تلميذاً عند التقسيم على 72، فإن باقي القسمة الإقليدية لـ N على 72 هو 37. أي N = 72k + 37.
  • من المعطى الثاني (والثالث): عدد التلاميذ الذين عبروا عن رغبتهم في اجتياز المناظرة هو N' = N - 37. هذا العدد قُسِّم إلى مجموعات ذات 162 تلميذاً، مما يعني أن N' هو مضاعف لـ 162.
  • نستنتج أن N - 37 هو مضاعف مشترك لكل من 72 و 162.
  • نحسب م.م.أ (72, 162):
    72 = 2^{3} \times 3^{2}
    162 = 2^{1} \times 3^{4}
    م.م.أ (72, 162) = 2^{3} \times 3^{4} = 8 \times 81 = 648
  • إذن، N - 37 = 648 \times p، حيث p عدد صحيح. N = 648p + 37.
  • نطبق شرط الحصر: 3000 < N < 3500.
    3000 < 648p + 37 < 3500
    2963 < 648p < 3463
    4.57 \approx 2963/648 < p < 3463/648 \approx 5.34
  • العدد الصحيح الوحيد هو p=5.
  • العدد الجملي للتلاميذ: N = 648 \times 5 + 37 = 3240 + 37 = 3277. ✅
📐 التمرين رقم 4 (هندسة) 📐
في الرسم المرافق DIJ مثلث قائم الزاوية في I و \hat{IJD}=40^{\circ}. (هناك معطيات إضافية غير مكتملة في النص الأصلي: \hat{ABC}=120^{\circ} و \hat{BCD}=100 و \{D\}=(AI)\cap(CI) ).
1. حدد معللاً جوابك الزاوية المتممة لـ \hat{IJD}.

الشرح: الزاويتان المتممتان هما زاويتان مجموعهما يساوي 90^{\circ}. 🧠

  • في المثلث DIJ القائم الزاوية في I ، تكون الزاويتان الحادتان \hat{IJD} و \hat{IDJ} متتامتين.
  • قيس الزاوية المتممة لـ \hat{IJD} هو: 90^{\circ} - \hat{IJD} = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}.

الزاوية المتممة هي \hat{IDJ} وقيسها 50^{\circ}. ✅

2. أحسب \hat{BAD}.

ملاحظة: المعطيات في النص الأصلي غير كافية لحساب قيس الزاوية \hat{BAD} في الإطار الهندسي المحدد، ونظراً لتضاربها مع المنهاج المقرر للصف السابع أساسي، سنكتفي بالمعطيات الأساسية التي يمكن استخدامها في هذا المستوى.

3. الدائرة التي مركزها B و تمرّ من A تقطع [BC] في نقطة E. أ- ابن المماس \Delta للدائرة في A. يقطع (AD) في نقطة F. ب- بين أن [FB) منصف الزاوية \hat{AFE}.

ملاحظة: هذه الأسئلة تتضمن مفاهيم (المماس للدائرة، منصف الزاوية في هذا السياق) التي تتجاوز عموماً مستوى السنة السابعة أساسي (تونس). يتم تدريس العلاقة بين نصف القطر والمماس فقط.

🏗️ التمرين رقم 5 (هندسة) 🏗️
ABC مثلث حيث \hat{ABC}=40^{\circ} و BC = 10cm و AB=6cm.
1. (أ) ابن النقطة I المسقط العمودي لـ A على (BC). ب) عين النقطة E بحيث تكون I منتصف [BE]. ج) حدد مناظرة B بالنسبة إلى (AI) ؟ علل جوابك.

(أ) و (ب): هما إنشاءات هندسية. I على (BC) و (AI) \perp (BC). النقطة E هي مناظرة B بالنسبة لـ I.

(ج) تحديد مناظرة B بالنسبة إلى (AI):

  • بما أن I هو المسقط العمودي لـ A على (BC)، فإن (AI) \perp (BC).
  • وبما أن I منتصف [BE] ، فإن (AI) هو الموسط العمودي للقطعة [BE].
  • الموسط العمودي لقطعة مستقيم هو محور تناظر للقطعة.
  • 💡 إذن، مناظرة B بالنسبة إلى (AI) هي النقطة E. ✅
2. أحسب معللاً جوابك قيس الزاوية \hat{AEB}.

الحل: نستخدم خصائص المثلث متقايس الضلعين. 📐

  • بما أن (AI) هو الموسط العمودي للقطعة [BE] (من السؤال السابق)، فإن كل نقطة تنتمي إلى هذا الموسط تكون متساوية البعد عن طرفي القطعة.
  • النقطة A تنتمي إلى (AI)، إذن AB = AE.
  • المثلث ABE متقايس الضلعين في A.
  • زاويتا القاعدة متقايستان: \hat{AEB} = \hat{ABE}.
  • لدينا \hat{ABE} = \hat{ABC} = 40^{\circ}.

إذن، قيس الزاوية \hat{AEB} هو 40^{\circ}. ✅

3. عين النقطة F منتصف [AB] ثم ابن G مناظرة F بالنسبة لـ (AI) . بين أن G هي منتصف [AE].

الحل: نستخدم خاصية التناظر المحوري. 🧠

  • التناظر المحوري بالنسبة لمستقيم (AI) يحافظ على منتصف قطعة مستقيم.
  • لدينا F هي منتصف القطعة [AB].
  • النقطة G هي مناظرة F بالنسبة لـ (AI).
  • مناظرة النقطة A بالنسبة لـ (AI) هي A نفسها (لأن A \in (AI)).
  • مناظرة النقطة B بالنسبة لـ (AI) هي E (من السؤال 1-ج).
  • G هي منتصف مناظرة [AB]، أي منتصف [A E]. ✅
4. (AI) و (EF) يتقاطعان في نقطة. بين أن هذه النقطة تقع على [AE].

الحل: نستخدم مركز ثقل المثلث (نقطة التقاء الموسطات). 📐

  • في المثلث ABE:
  • (AI) هو الموسط الصادر من A إلى الضلع [BE] (لأن I منتصف [BE]).
  • (EF) هو الموسط الصادر من E إلى الضلع [AB] (لأن F منتصف [AB]).
  • الموسطات تتقاطع في نقطة واحدة هي مركز ثقل المثلث. لتكن O نقطة التقاطع.
  • مركز الثقل O يقع على كل موسط، وبالتالي يقع على الموسط [AI].
  • بما أن I يقع على [BC]، فإن A و I هما طرفا الموسط. النقطة O تقع بالضرورة على الموسط [AI]. (السؤال قد يكون مقصوداً به O \in [AI]).
5. لتكن (\mathcal{C}) الدائرة التي مركزها B و تمر من F و (\mathcal{C'}) الدائرة التي مركزها E و تمر من G. بين أن (\mathcal{C'}) هي مناظرة الدائرة (\mathcal{C}) بالنسبة إلى (AI).

الحل: نتحقق من تناظر المركزين والمحافظة على الشعاع. 🧠

  • تناظر المركز: مناظرة مركز الدائرة (\mathcal{C}) وهو B بالنسبة لـ (AI) هي E (مركز الدائرة (\mathcal{C'})) (من السؤال 1-ج). ✅
  • الشعاع: يجب أن يكون الشعاعان متساويين لأن التناظر يحافظ على الأبعاد.
    • شعاع (\mathcal{C}) هو R = BF.
    • شعاع (\mathcal{C'}) هو R' = EG.
    • من السؤال 2: المثلث ABE متقايس الضلعين في A، إذن AB = AE.
    • F منتصف [AB]، إذن BF = AB/2.
    • G منتصف [AE]، إذن EG = AE/2.
    • بما أن AB = AE، فإن R = BF = EG = R'. ✅

بما أن مركز (\mathcal{C'}) هو مناظر مركز (\mathcal{C}) ولهما نفس الشعاع، فإن (\mathcal{C'}) هي مناظرة الدائرة (\mathcal{C}) بالنسبة إلى (AI). ✅