📝 فرض مراقبة عدد 3 في الرياضيات 📝

الإجابة الصحيحة هي: أ) 1,253 🎯

الشرح: رقم الأجزاء من الألف هو الرقم الثالث بعد الفاصل (من اليمين إلى اليسار). في العدد 1,253، الرقم 3 يقع في خانة الأجزاء من الألف (\frac{3}{1000}).

الإجابة الصحيحة هي: ب) 0,01 🎯

الشرح: للحصول على 1,31752 انطلاقاً من 131,752، يجب إزاحة الفاصلة برقمين نحو اليسار. هذا يعادل الضرب في 10^{-2} أو 0,01.

الإجابة الصحيحة هي: أ) AC+BC=AB 🎯

الشرح: لكي تكون النقطة C واقعة بين النقطتين A و B (أي تنتمي إلى قطعة المستقيم [AB])، يجب أن يكون مجموع طول القطعتين [AC] و [BC] مساوياً لطول القطعة [AB].

الحل: 🧠

• تفكيك 513:
  513 = 3 \times 171 = 3 \times 3 \times 57 = 3 \times 3 \times 3 \times 19 = 3^{3} \times 19
• تفكيك 1368:
  1368 = 2 \times 684 = 2^2 \times 342 = 2^3 \times 171 = 2^{3} \times 3^{3} \times 19

الحل: 💡

نختزل العدد الكسري باستخدام التفكيك إلى جذاء عوامل أولية:

بما أن مقام العدد الكسري المختزل (2^{3}) لا يحتوي إلا على العامل الأولي 2، فهو عدد عشري. ✅

الحل: 🛠️

لدينا \frac{513}{1368} = \frac{1}{2^{3}}. لجعله على صورة \frac{a}{10^{n}}، نضرب البسط والمقام في 5^{3}:

إذن، a = 125 و n = 3. ✅

الحل: 🛠️

الحل: (باستخدام خاصية التجميع والاختزال) 🧠

الحل: (باستخدام خاصية التوزيع)

الحل: (ليكن x هو العدد الناقص) 💡

1. نحول الحد الأول:
   1,8\times7,5\times1,4 = (18 \times 0,1) \times 7,5 \times 1,4 = 18 \times 1,4 \times (0,1 \times 7,5)
   = 18 \times 1,4 \times 0,75
2. نعوض في المساواة:
   18 \times 1,4 \times 0,75 + 0,63 \times 4 \times x = 18 \times 1,4 \times 1
3. ننقل الحد إلى الطرف الأيمن ونستخرج عاملاً مشتركاً:
   0,63 \times 4 \times x = 18 \times 1,4 \times (1 - 0,75)
   0,63 \times 4 \times x = 18 \times 1,4 \times 0,25
4. نستخدم العلاقة المعطاة: 18 \times 14 = 63 \times 4 \implies 18 \times 1,4 = 6,3 \times 4
   0,63 \times 4 \times x = (6,3 \times 4) \times 0,25
   0,63 \times 4 \times x = (0,63 \times 10) \times 4 \times 0,25
5. نختزل 0,63 \times 4 من الطرفين:
   x = 10 \times 0,25
   x = 2,5

العدد الناقص هو 2,5. ✅

الحل: 🧠

في المثلث القائم ABC (\widehat{A}=90^{\circ})، مجموع الزوايا يساوي 180^{\circ}:

الحل: 💡

بما أن A و C و E على استقامة واحدة، فإن \widehat{A C E} = 180^{\circ} (زاوية مستقيمة).

نفترض أن الشعاع [C B) يقع داخل الزاوية \widehat{A C D} وأن A و E في جهتين مختلفتين بالنسبة لـ C:

لدينا \widehat{D C E} = 100^{\circ} و \widehat{A C B} = 40^{\circ}. نفترض أن \widehat{A C D} + \widehat{D C E} = 180^{\circ} أو أن \widehat{B C D} و \widehat{A C B} متكاملتان. الحل الأكثر منطقية هو أن \widehat{B C D} هو جزء من الزاوية \widehat{A C E} (الزاوية المستقيمة) وأن $D$ هو داخلها، وهذا يؤول إلى تناقض.

الافتراض الأكثر منطقية (الذي يجعل السؤال 1-ج صحيحاً): A و C و E على استقامة واحدة و C تقع بين A و E (زاوية مستقيمة \widehat{A C E} = 180^{\circ}).

إذن، \widehat{B C E} = 180^{\circ} - \widehat{A C B} = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}. (زاوية متكاملة)

بما أن \widehat{D C E} = 100^{\circ}، فإن D يقع داخل \widehat{B C E}.

الحل: 🧠

نحسب الزاوية A\hat{C}D:

بما أن \widehat{A C B} = \widehat{B C D} = 40^{\circ}، فإن الشعاع [CB) يقسم الزاوية A\hat{C}D إلى زاويتين متقايستين. إذن، [CB) هو منصف الزاوية A\hat{C}D. ✅

ملاحظة: بما أن D \in (BF)، فإن المستقيم (BF) هو نفسه المستقيم (BD). السؤال هو إثبات توازي (CD) و (BD)، وهو أمر غير ممكن ما لم تكن C، B، D على استقامة واحدة. لذلك، نفترض وجود خطأ مطبعي في نص التمرين الأصلي.

الافتراض الأكثر احتمالاً: إثبات أن C D \perp B D (وهو غير صحيح)، أو أن D هي نقطة أخرى. لنفترض أن السؤال كان: **إثبات أن (CD) // (AB).**

حل السؤال المفترض (إثبات أن (CD) // (AB)):

لا يمكن إثبات ذلك بالمعطيات الحالية، لأن التوازي يتطلب:

• \widehat{DCA} = 90^{\circ} (زوايا متتالية) أو \widehat{ACD} + \widehat{CAB} = 180^{\circ}. ❌
• \widehat{ABD} = \widehat{BDC} (زوايا متبادلة داخلياً) ❌

حل السؤال المعطى (بافتراض أن (BF) و (CD) متقاطعان):

بما أن D \in (BF)، فإن المستقيمان (CD) و (BD) يتقاطعان في D. وبالتالي، لا يمكن أن يكونا متوازيين ما لم تتطابق النقطتان C و D، وهذا غير محقق. يجب مراجعة معطيات السؤال. ❌

الحل: 🧠 (هذا الاستنتاج يتطلب معطيات إضافية غير مذكورة بشكل واضح في السؤال 2.)

لإثبات أن BA=BD، يجب إثبات أن المثلث ABD متقايس الضلعين في B، أي أن \widehat{BAD} = \widehat{BDA}.

لنفترض أن D تنتمي إلى العمودي المار من B على (AC)، أو أن \widehat{BAD} = \widehat{BDA}. بما أن AB \perp AC و \widehat{ACD} = 80^{\circ}، فإن النتيجة غير مباشرة.

(حل افتراضي للمساعدة): إذا كان D نقطة على منصف \widehat{ABC}، وكانت DC=AC. النتيجة غير مؤكدة.

الخلاصة: الاستنتاج يتطلب معطيات هندسية إضافية مفقودة أو نتيجة مفقودة من السؤال 2. رياضياً، BA=BD يعني أن B تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة [AD]. ❌

الحل: 🧠

مركز الدائرة المحاطة (Incenter) هو نقطة تقاطع منصفات الزوايا الداخلية للمثلث.

1. لدينا [CO) هو منصف الزاوية A\hat{C}B (معطى).
2. في الرسم، نلاحظ أن O K \perp A B و O H \perp B C، وأن O K = O H (متقايسان في الرسم) .
3. بما أن النقطة O متساوية البعد عن ضلعي الزاوية \widehat{ABC}، فإن O تقع على منصف الزاوية \widehat{ABC}، أي أن [BO) هو منصف الزاوية \widehat{ABC}.
4. النقطة O هي نقطة تقاطع منصفين لزاويتين داخليتين ([CO) و [BO)).

إذن، O هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC. ✅

الحل: 🛠️

حساب \widehat{OAB}:

1. نحسب \widehat{A C B}: بما أن [CO) منصف و \widehat{O C B} = 22.5^{\circ}، فإن \widehat{A C B} = 2 \times 22.5^{\circ} = 45^{\circ}.
2. نحسب \widehat{CAB}: في المثلث ABC، \widehat{CAB} = 180^{\circ} - (\widehat{ABC} + \widehat{ACB}) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 90^{\circ}.
3. بما أن O هو المركز، فإن [AO) منصف \widehat{CAB}: \widehat{OAB} = 90^{\circ} \div 2 = 45^{\circ}. ✅

حساب \widehat{AOB}:

في المثلث AOB، لدينا:

• \widehat{OAB} = 45^{\circ}
• \widehat{OBA} = \widehat{ABC} \div 2 = 45^{\circ} \div 2 = 22.5^{\circ} (لأن [BO) منصف)

الحل: 💡

لإثبات أن النقاط A و O و K على استقامة واحدة، يجب أن تكون الزاوية \widehat{OAB} إما 0^{\circ} أو 180^{\circ}.

لكننا وجدنا أن \widehat{OAB} = 45^{\circ}. هذا يعني أن النقاط **ليست** على استقامة واحدة.

ملاحظة هامة: هناك خطأ في صياغة السؤال، فرياضياً لا يمكن أن تكون A و O و K على استقامة واحدة ما دامت O مركز الدائرة المحاطة و \widehat{OAB} \ne 0^{\circ}. K هي مسقط O العمودي على (AB).

الافتراض الأكثر احتمالاً: كان الهدف هو إثبات أن \triangle CAB متقايس الضلعين في A (تم إثباته: \widehat{B}=\widehat{C}=45^{\circ}) أو إثبات أن \triangle AOB غير متقايس الضلعين (تم إثباته: \widehat{OAB} \ne \widehat{OBA}).

الحل: 📐

بما أن H هي مسقط O على (BC)، وبما أن المستقيم (OH) يقطع (BC) في E، فإن النقطة E هي نفسها H. أي E=H.

لنفترض أن السؤال المطلوب هو إثبات أن (AE) هو الموسط العمودي لـ [OC]. (استنتاج منطقي في مثلث متقايس الضلعين ABC):

1. لدينا \triangle ABC متقايس الضلعين في A (\widehat{B}=\widehat{C}=45^{\circ}).
2. لدينا O مركز الدائرة المحاطة.
3. لدينا AO هو منصف الزاوية \widehat{CAB}.
4. E=H هي المسقط العمودي لـ O على (BC).

المعطيات غير كافية لإثبات نتيجة هندسية واضحة من هذا النوع. الحل الأدق هو فقط تحديد E:

الإجابة الأدق: بما أن (OH) \perp (BC)، فإن النقطة E هي نفسها H، وهي مسقط O العمودي على (BC). ✅