3. [cite_start]استنتج عناصر المجموعة D_a ∩ D_b. [cite: 24]
الحل: 🧠
المجموعة D_a ∩ D_b هي مجموعة القواسم المشتركة للعددين a و b، وهي نفسها مجموعة قواسم ق.م.أ (a, b) = 45.
قواسم 45 هي: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
D_a ∩ D_b = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
4. [cite_start]ترسل منارة إشارة ضوئية كل 9 دقائق وترسل منارة أخرى إشارة ضوئية كل 3 دقائق و 45 ثانية[cite: 25, 26]. تم تشغيل المنارتين في نفس الوقت. [cite_start]حدد المدة الزمنية التي تلي تشغيلهما لأول مرة ترسل فيها المنارتان الإشارة الضوئية في نفس الوقت[cite: 28, 29, 30]. علل جوابك.
الحل: 💡
**التعليل:** يجب أن تكون المدة الزمنية مضاعفاً مشتركاً (م.م.أ) للفترتين الزمنيتين بالثواني.
**تحويل الفترات إلى ثواني:**
المنارة 1: 9 دقائق = 9 × 60 = 540 ثانية.
المنارة 2: 3 دقائق و 45 ثانية = (3 × 60) + 45 = 180 + 45 = 225 ثانية.
**حساب م.م.أ (540, 225):**
التفكيك: 540 = 2² × 3³ × 5. 225 = 3² × 5².
م.م.أ (540, 225): نأخذ فيه جميع العوامل الأولية بأكبر أس: 2² × 3³ × 5² = 4 × 27 × 25 = 2700 ثانية.
**النتيجة بالدقائق:** 2700 ÷ 60 = 45 دقيقة.
المدة الزمنية هي: **45 دقيقة**. ✅
📐 التمرين رقم 3 (5 نقاط): الهندسة 📐
[cite_start]
تأمل الشكل: ABC مثلث حيث قيس الزاوية A B C = 55° [cite: 32] [cite_start]و قيس الزاوية A C B = 35°[cite: 33].
1. (أ) [cite_start]احسب قيس الزاوية B A C واستنتج طبيعة المثلث ABC[cite: 34].
الحل: 💡
قيس(B A C) = 180° - (قيس(A B C) + قيس(A C B)) قيس(B A C) = 180° - (55° + 35°) = 180° - 90° = 90°
الاستنتاج: بما أن قيس الزاوية B A C = 90°، فإن المثلث ABC هو **مثلث قائم الزاوية في A**. ✅
1. (ب) [cite_start]عين النقطة D من (AB) حيث A منتصف [BD][cite: 34]. [cite_start]بين أن B و D متناظرتان بالنسبة لـ (AC)[cite: 35].
الحل: 💡
التعيين: النقطة D تقع على استقامة النقاط A و B و A منتصف [BD] (أي أن D مناظرة B بالنسبة لـ A).
التبيان:
لدينا A منتصف [BD] (من المعطيات).
المثلث ABC قائم الزاوية في A (من السؤال 1.أ). إذن المستقيم (AB) عمودي على المستقيم (AC).
بما أن D ∈ (AB)، فإن (BD) ⊥ (AC).
المستقيم (AC) يمر من منتصف [BD] (النقطة A) وهو عمودي على حاملها (BD).
إذن، (AC) هو **الموسط العمودي** لقطعة المستقيم [BD]. وبالتالي، B و D متناظرتان بالنسبة للمستقيم (AC). ✅
2. (أ) [cite_start]ابن النقطة A' مناظرة A بالنسبة لـ (DC)[cite: 35]. (ب) [cite_start]بين أن AD = A'D[cite: 35].
الحل: 💡
التبيان:
النقطة A' هي مناظرة النقطة A بالنسبة لمستقيم التناظر (DC).
النقطة D تنتمي إلى محور التناظر (DC).
بما أن النقطة D تنتمي إلى محور التناظر (DC)، فإنها متساوية البعد عن النقطة A ومناظرتها A'. إذن، AD = A'D. ✅
2. (ج) ما هي مناظرة الزاوية DAC بالنسبة لـ (DC)؟ [cite_start]علل جوابك[cite: 37].
الحل: 💡
مناظرة الزاوية D A C بالنسبة للمستقيم (DC) هي الزاوية D A' C.
التعليل:
مناظرة D (تنتمي للمحور) هي D.
مناظرة C (تنتمي للمحور) هي C.
مناظرة A هي A' (حسب المعطيات).
بما أن التناظر المحوري يحافظ على طبيعة الأشكال والزوايا، فإن مناظرة الزاوية هي الزاوية المكونة من مناظرات رؤوسها. ✅
2. (د) [cite_start]استنتج أن (D A) ⊥ (A C)[cite: 37].
الحل: 💡
الاستنتاج:
نعلم أن المثلث ABC قائم الزاوية في A (من السؤال 1.أ).
إذن (A B) ⊥ (A C).
[cite_start]
بما أن النقطة D تنتمي إلى المستقيم (AB) [cite: 34]، فإن (DA) = (AB).
وبالتالي، (D A) ⊥ (A C). ✅
3. (أ) [cite_start]ابن النقطة B' مناظرة B بالنسبة لـ (DC)[cite: 38]. (ب) [cite_start]بين أن D و A' و B' على استقامة واحدة[cite: 38].
الحل: 💡
التبيان:
[cite_start]
نعلم أن النقاط D, A, B على استقامة واحدة (D تقع على (AB) و A منتصف [BD] [cite: 34]).
التناظر المحوري بالنسبة للمستقيم (DC) يحافظ على الاستقامة.
مناظرة D بالنسبة لـ (DC) هي D.
مناظرة A بالنسبة لـ (DC) هي A'.
مناظرة B بالنسبة لـ (DC) هي B'.
إذن، مناظرات النقاط المستقيمة D, A, B هي نقاط مستقيمة أيضاً. وبالتالي، النقاط D, A', B' على استقامة واحدة. (ملاحظة: تم تصحيح المطلوب من D, A, B' إلى D, A', B' نظراً لتعريف A'). ✅
3. (ج) [cite_start]بين أن A A' B' B شبه منحرف[cite: 38].
الحل: 💡
التبيان:
A' مناظرة A بالنسبة لـ (DC). إذن، (A A') ⊥ (D C).
B' مناظرة B بالنسبة لـ (DC). إذن، (B B') ⊥ (D C).
بما أن المستقيمين (A A') و (B B') عموديان على نفس المستقيم (D C)، فإنهما متوازيان: (A A') // (B B').
الرباعي A A' B' B هو رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان ([A A'] و [B B']). إذن، A A' B' B هو **شبه منحرف**. ✅