عدد القواسم = (الأس الأول + 1) × (الأس الثاني + 1)
عدد القواسم = (3 + 1) × (9 + 1) = 4 × 10 = 40
4. [cite_start]لاحظ الشكل (غير مرسوم) [cite: 26] [cite_start]حيث $(\mathcal{C})$ و $(\mathcal{C}')$ دائرتان مركزيهما O و O' على التوالي ولهما نفس الشعاع[cite: 10, 11]. الجملة: "في هذا الشكل $(\mathcal{C})$ و $(\mathcal{C}')$ متناظرتان بالنسبة لـ A" هي:
[cite_start]
**صواب** [cite: 22]
[cite_start]
خطأ [cite: 23]
الحل: 💡
إذا كانت دائرتان متناظرتان بالنسبة لنقطة A (تناظر مركزي)، فهذا يعني أن:
مركز إحداهما هو مناظر مركز الأخرى بالنسبة لـ A (A هي منتصف [O O']).
لهما نفس الشعاع.
[cite_start]
وبما أن المعطيات تذكر أن لهما نفس الشعاع [cite: 11]، فإن الإمكانية قائمة، وتكون الجملة صحيحة إذا كانت A هي مركز التناظر (منتصف [O O']).
📐 التمرين رقم 2 - الإحداثيات والتناظر 📐
[cite_start]
تأمل التمثيل التالي حيث (O, I, J) معين (متعامد وممنظم) و OI = OJ و (OI) ⊥ (OJ)[cite: 26].
1. [cite_start]ما هي إحداثيات A و C؟ [cite: 27]
الحل: 🧠 (بالاعتماد على الرسم البياني المرفق في الاختبار الأصلي - وبغيابه نعتمد على المتغيرات)
بالنظر إلى سياق التمرين، نفرض الإحداثيات التالية كنقاط عامة تقع في الربع الأول:
A (xₐ, yₐ) C (x꜀, y꜀)
2. [cite_start]أ) ابن النقطة B مناظرة A بالنسبة لـ (OI) [cite: 29, 30][cite_start]، والنقطة D مناظرة C بالنسبة لـ (OJ)[cite: 31, 32].
2. [cite_start]ب) أكمل الجدول التالي[cite: 33]:
الحل: 💡
قواعد التناظر:
* مناظرة نقطة بالنسبة لـ (OI) (محور السينات) تحافظ على فاصلتها وتُغيّر ترتيبها (A(x, y) → B(x, -y)).
* مناظرة نقطة بالنسبة لـ (OJ) (محور التراتيب) تحافظ على ترتيبها وتُغيّر فاصلتها (C(x, y) → D(-x, y)).
[cite_start]
النقطة [cite: 37]
[cite_start]
إحداثياتها [cite: 38]
[cite_start]
O [cite: 34]
(0, 0)
[cite_start]
I [cite: 40]
(1, 0)
[cite_start]
J [cite: 36]
(0, 1)
A
(xₐ, yₐ)
[cite_start]
B [cite: 35]
(xₐ, -yₐ)
C
(x꜀, y꜀)
[cite_start]
D [cite: 20]
(-x꜀, y꜀)
3. [cite_start]أ) بين أن IB = IA[cite: 39].
الحل: 💡
[cite_start]
لدينا B مناظرة A بالنسبة للمستقيم (OI)[cite: 29, 30].
إذن، (OI) هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [A B].
[cite_start]
بما أن النقطة I تنتمي إلى (OI) [cite: 40][cite_start]، وهي محور التناظر، فإن I متساوية البعد عن طرفي القطعة [A B]. [cite: 39]
أي أن: I A = I B. ✅
3. [cite_start]ب) بين أن (CD) مواز لـ (OI)[cite: 41].
الحل: 💡
[cite_start]
لدينا D مناظرة C بالنسبة للمستقيم (OJ)[cite: 31, 32].
[cite_start]
إذا كانت إحداثيات C هي (x꜀, y꜀)، فإن إحداثيات D هي (-x꜀, y꜀). [cite: 38]
[cite_start]
النقطتان C و D لهما نفس الترتيب y꜀، مما يعني أن المستقيم (CD) هو مستقيم أفقي (موازٍ لمحور السينات). [cite: 41]
بما أن (OI) هو محور السينات، فإن (CD) مواز لـ (OI). ✅
🔢 التمرين رقم 3 - التفكيك و ق.م.أ و م.م.أ 🔢
[cite_start]
نعتبر العددين a = 25² × 15³ × 3⁶ و b = 5⁵ × (3² × 5)² × 9[cite: 43].
1. [cite_start]اكتب a و b في صيغة جذاء عوامل أولية[cite: 46].
الحل: 🧠
تفكيك a:
a = (5²)² × (3 × 5)³ × 3⁶ a = 5⁴ × 3³ × 5³ × 3⁶ a = 3⁹ × 5⁷
تفكيك b:
b = 5⁵ × (3² × 5)² × 3² b = 5⁵ × (3⁴ × 5²) × 3² b = 3⁴⁺² × 5⁵⁺² = 3⁶ × 5⁷
2. [cite_start]استنتج كتابة في صيغة جذاء عوامل لـ a × b و √(15a)[cite: 46].
الحل: 🧠
تفكيك a × b:
a × b = (3⁹ × 5⁷) × (3⁶ × 5⁷) a × b = 3⁹⁺⁶ × 5⁷⁺⁷ = 3¹⁵ × 5¹⁴
حساب ق.م.أ (525, 540): (العوامل المشتركة بأصغر أس)
ق.م.أ = 3¹ × 5¹ = 15
حساب م.م.أ (540, 225): (جميع العوامل بأكبر أس)
م.م.أ = 2² × 3³ × 5² = 4 × 27 × 25 = 2700
📐 التمرين رقم 4 - التناظر المحوري في مثلث 📐
[cite_start]
A B C مثلث و I منتصف [B C][cite: 53].
1. [cite_start]أ) ابن النقطة B' مناظرة B بالنسبة لـ (A I)[cite: 54].
الحل: 💡
تُبنى B' بحيث يكون المستقيم (A I) هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [B B'].
1. ب) ما هي مناظرة الزاوية $\widehat{B A I}$ بالنسبة لـ (A I)؟ [cite_start]علل جوابك[cite: 56].
الحل: 💡
[cite_start]
مناظرة الرأس A هي A (لأنها تنتمي لمحور التناظر (A I)). [cite: 55]
مناظرة النقطة I هي I (لأنها تنتمي لمحور التناظر (A I)).
[cite_start]
مناظرة النقطة B هي B' (بالبناء). [cite: 54]
إذن، مناظرة الزاوية $\widehat{B A I}$ بالنسبة لـ (A I) هي الزاوية **$\widehat{B' A I}$**.
التعليل: التناظر المحوري يحافظ على قياس الزوايا، إذن: $\widehat{B A I} = \widehat{B' A I}$.
1. [cite_start]ج) استنتج أن [A I) منصف الزاوية $\widehat{B A B'}$[cite: 58].
الحل: 💡
بما أن $\widehat{B A I} = \widehat{B' A I}$ (من السؤال السابق)، ونصف المستقيم [A I) يقسم الزاوية $\widehat{B A B'}$ إلى زاويتين متقايستين، فإنه يمثل **منصف** هذه الزاوية. ✅
2. [cite_start]أ) ابن النقطة C' مناظرة C بالنسبة لـ (A I)[cite: 59].
الحل: 💡
تُبنى C' بحيث يكون المستقيم (A I) هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [C C'].
2. ب) ما هو مناظر نصف المستقيم [B C) بالنسبة لـ (A I)؟ [cite_start]علل جوابك[cite: 59].
الحل: 💡
مناظر نصف المستقيم هو نصف المستقيم الذي تصل بين مناظرتي طرفيه.
[cite_start]
مناظر B هو B'. [cite: 54]
[cite_start]
مناظر C هو C'. [cite: 59]
إذن، مناظر نصف المستقيم [B C) بالنسبة لـ (A I) هو نصف المستقيم **[B' C')**.
التعليل: التناظر المحوري يحول نصف مستقيم إلى نصف مستقيم.
2. [cite_start]ج) بين أن النقاط B و C و I على استقامة واحدة[cite: 60].
الحل: 💡
[cite_start]
حسب معطيات التمرين، النقطة I هي **منتصف** قطعة المستقيم [B C][cite: 53].
[cite_start]
حسب تعريف منتصف قطعة مستقيم، فإن النقاط B و C و I تنتمي إلى نفس المستقيم (أي أنها على استقامة واحدة)[cite: 60]. ✅