بما أن العدد الكسري بعد اختزاله إلى أقصى حد $\frac{1}{2³}$، فإن تفكيك مقامه (2³) يحتوي على العامل الأولي 2 فقط (أو 5 فقط، أو كلاهما). إذن، $\frac{513}{1368}$ هو **عدد كسري عشري**. ✅
[cite_start]
ج) أكتب العدد الكسري $\frac{513}{1368}$ على صورة $\frac{a}{10ⁿ}$ حيث a و n عددان صحيحان طبيعيان. [cite: 173, 177, 178]
3. عين النقطة H المسقط العمودي لـ A على (OI) والنقطة F مناظرة B بالنسبة إلى (OI). ماهي طبيعة الرباعي AHFB ؟ [cite_start]علل جوابك [cite: 131, 132, 133]
الحل: 🧠
بافتراض A ( 3 ; 2 ) و B ( 1 ; -1 ).
تحديد النقاط:
(OI) هو محور الفاصلات (محور السينات).
$H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(OI)$: $H$ ( 3 ; 0 ).
$F$ مناظرة $B$ بالنسبة لـ $(OI)$: $F$ ( 1 ; 1 ).
طبيعة الرباعي AHFB:
$(AH) \perp (OI)$ و $(HF)$ تنتمي إلى $(OI)$. إذن $(AH)$ عمودي على $(HF)$.
$(FB)$ عمودي على $(OI)$ و $(HF)$ تنتمي إلى $(OI)$. إذن $(FB)$ عمودي على $(HF)$.
بما أن $(AH)$ و $(FB)$ عموديان على نفس المستقيم $(OI)$، فإنهما متوازيان: $(AH) // (FB)$.
إذن، AHFB هو **شبه منحرف** (فيه ضلعان متقابلان متوازيان).
للتحقق مما إذا كان متساوي الساقين، نحسب الأضلاع المائلة: $AF \ne BH$. ($AF^2 = (3-1)^2 + (2-1)^2 = 5$. $BH^2 = (1-3)^2 + (-1-0)^2 = 5$). **إذن، AHFB هو شبه منحرف متساوي الساقين.**
[cite_start]
🔺 التمرين رقم 4 (هندسة وحساب) 🔺 [cite: 134]
[cite_start]
نعتبر المثلث ABC حيث $\widehat{BAC} = 120^\circ$ و $AB = 6 \text{cm}$ و $\widehat{ABC} = 30^\circ$. [cite: 135, 136, 153]
بما أن $\widehat{ACB} = 180^\circ - (120^\circ + 30^\circ) = 30^\circ$، فالمثلث ABC متساوي الساقين في A.
1. [cite_start]أ) ابن $[Ax)$ منصف الزاوية $\widehat{BAC}$ والذي يقطع (BC) في O. [cite: 154, 157]
الحل: 💡
نقوم برسم منصف الزاوية $\widehat{BAC}$ (قياسها $120^\circ$)، حيث $\widehat{OAB} = \widehat{OAC} = 60^\circ$.
[cite_start]
ب) بيّن أنّ $\widehat{AOB} = 90^\circ$. [cite: 158] (نفترض أن السؤال هو إثبات أن $\widehat{AOB} = 90^\circ$)
الحل: 💡
في المثلث AOB، لدينا:
$\widehat{OAB} = 60^\circ$ (لأن $[AO)$ منصف الزاوية $\widehat{BAC}$).
3. [cite_start]المستقيم (OG) يقطع (AB) في I. بين أن $AI = 3 \text{cm}$. [cite: 165, 166]
الحل: 💡
$G$ هو مركز ثقل المثلث AOB.
(OG) هو المستقيم المار من رأس O ومركز الثقل G. إذن، (OG) هو **المتوسط** الثالث الصادر من O.
المتوسط الصادر من O يقطع الضلع المقابل [AB] في منتصفه I. إذن I هي منتصف [AB].
بما أن $AB = 6 \text{cm}$ (معطى)، فإن $AI = AB / 2 = 6 / 2 = 3 \text{cm}$. ✅
4. أ) إبن النقطة H المسقط العمودي لـ C على (AB). [cite_start]المستقيمان (CH) و (OA) يتقاطعان في D. [cite: 167]
[cite_start]
ب) بين أن D المركز القائم للمثلث ABC. [cite: 168]
الحل: 💡
(CH) هو ارتفاع: H المسقط العمودي لـ C على (AB)، إذن (CH) هو الارتفاع الصادر من C في المثلث ABC.
(AO) هو ارتفاع: بما أن المثلث ABC متساوي الساقين في A، فإن منصف الزاوية $\widehat{BAC}$ (وهو $[AO)$) هو أيضاً الارتفاع الصادر من A. إذن $(AO) \perp (BC)$.
$D$ هي نقطة تقاطع (CH) (الارتفاع من C) و (AO) (الارتفاع من A).
إذن، D هي **المركز القائم** للمثلث ABC (نقطة تلاقي الارتفاعات). ✅
[cite_start]
ج) استنتج $(BD) \perp (CA)$. [cite: 169]
الحل: 💡
$D$ هي المركز القائم للمثلث ABC.
الخط المستقيم المار من رأس (B) والمركز القائم (D) هو حامل الارتفاع الصادر من B.
إذن، (BD) هو الارتفاع الصادر من B، وبالتالي $(BD)$ عمودي على الضلع المقابل (CA): $(BD) \perp (CA)$. ✅
[cite_start]
د) اذا علمت أن $CH = 5 \text{cm}$ احسب مساحة المثلث AIC. [cite: 170]