🎯 فرض مراقبة عدد 2 - التاسعة أساسي 🎯

إختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات التالية[cite: 48]:

1. إذا كان $$A=3x^{2}-5\sqrt{2}x+1$$ و $$x=\sqrt{2}$$ فإن $$A$$ يساوي:

   $$A=0$$

   $$-3$$

   $$-2$$

   إظهار/إخفاء الحل
   $$A = 3x^{2}-5\sqrt{2}x+1$$

   نعوض $$x$$ بقيمتها $$\sqrt{2}$$:

   $$A = 3(\sqrt{2})^{2}-5\sqrt{2}(\sqrt{2})+1$$

   $$A = 3(2) - 5(2) + 1$$

   $$A = 6 - 10 + 1$$

   $$A = -3$$
2. في معين $$(O,I,J)$$ النقطة $E(4,5)$ و $F(4,5)$ (إحداثيات متطابقة). ما هي صفة القطعة $$[EF]$$؟

   $$(OJ)$$ هو الموسط

   $$(OI)$$ هو الموسط

   العمودي لـ $$[EF]$$

   إظهار/إخفاء الحل
   **ملاحظة:** بما أن إحداثيات $E$ و $F$ متطابقة ($E=F$)، فإن القطعة $$[EF]$$ هي نقطة.

   **افتراض وجود خطأ مطبعي وإحداثيات النقطة $F$ هي $F(-4, 5)$:**

   لدينا $$E(4,5)$$ و $$F(-4,5)$$، $E$ و $F$ لهما نفس الإرتوب $y=5$.

   محور الأفاصيل $$(OI)$$ هو $y=0$. محور الأراتيب $$(OJ)$$ هو $x=0$.

   موسط القطعة $$[EF]$$ هو المستقيم العمودي على $$[EF]$$ في منتصفها $M$.

   أفصول منتصف $M$: $$x_M = \frac{4+(-4)}{2} = 0$$

   بما أن $x_M=0$، فإن $M$ تقع على محور الأراتيب $$(OJ)$$.

   بما أن $$(EF)$$ مستقيم أفقي ($y=5$)، فإن الموسط هو مستقيم عمودي.

   إذن الموسط هو $$(OJ)$$ (محور الأراتيب).
3. $$\sqrt{10^{2}-8^{2}}$$ يساوي:

   $$4$$

   $$6$$

   $$2$$

   إظهار/إخفاء الحل
   $$\sqrt{10^{2}-8^{2}}$$

   $$= \sqrt{100 - 64}$$

   $$= \sqrt{36}$$

   $$= 6$$
4. إذا كان فاصلة هي $$9-\sqrt{5}$$ فإن $MN$ يساوي:

   $$MN=\sqrt{5}$$

   $$MN=\sqrt{5}-\frac{1}{2}$$

   $$MN=\sqrt{5}+\frac{5}{2}$$

   إظهار/إخفاء الحل
   **ملاحظة:** السؤال غير مكتمل، حيث لا توجد نقطة أخرى $M$ أو $N$ معطاة. سنكتفي بالإشارة إلى أن $$MN$$ يمثل مسافة بين نقطتين، ويجب أن يكون موجباً.

   **إذا افترضنا** أن النقطتين هما $M$ فاصلتها $x_M=9$ و $N$ فاصلتها $x_N=\sqrt{5}$:

   $$MN = |x_M - x_N| = |9 - \sqrt{5}| = 9 - \sqrt{5}$$

   **إذا افترضنا** أن $MN$ يساوي $$|9-\sqrt{5}|$$ (بسبب الخطأ المطبعي) فإن القيمة العددية تقريباً $$9-2.23 = 6.77$$.

   (كون السؤال غير قابل للحل بالمعطيات، نعتمد على الخيار الأبسط $$\sqrt{5}$$).
5. إذا كان $$5x(3x-4)-3x+4=0$$ فإن $$x$$ يساوي:

   $$x=\frac{1}{5}$$ أو $$x=\frac{4}{3}$$

   $$x=\frac{4}{3}$$

   $$x=0$$

   إظهار/إخفاء الحل
   $$5x(3x-4)-3x+4=0$$

   $$5x(3x-4)-(3x-4)=0$$

   **نستخرج العامل المشترك** $$(3x-4)$$

   $$(3x-4)(5x-1)=0$$

   إما $$3x-4=0$$ أو $$5x-1=0$$

   $$3x=4 \implies x=\frac{4}{3}$$

   $$5x=1 \implies x=\frac{1}{5}$$

1. (1) [cite_start]لتكن العبارة $$D=(-\frac{22}{7}-\pi+b)-[\sqrt{2}-(c-a-\pi)+(c-\frac{22}{7})]$$ [cite: 54] [cite_start]أ) بين أن $$D=b-a-\sqrt{2}$$[cite: 55].
   إظهار/إخفاء الحل
   $$D = -\frac{22}{7}-\pi+b - [\sqrt{2}-c+a+\pi+c-\frac{22}{7}]$$

   $$D = -\frac{22}{7}-\pi+b - \sqrt{2}+c-a-\pi-c+\frac{22}{7}$$

   نجمع الحدود المتشابهة:

   $$D = (\frac{22}{7}-\frac{22}{7}) + (c-c) + b-a - 2\pi - \sqrt{2}$$

   $$D = 0 + 0 + b-a - 2\pi - \sqrt{2}$$

   **ملاحظة:** العبارة الصحيحة هي $$D = b-a-2\pi-\sqrt{2}$$، وهناك خطأ في نص التمرين الأصلي (يجب أن يتم اختصار $$\pi$$ و $$2\pi$$). سنعتمد النتيجة المطلوبة في السؤال التالي:

   (بافتراض أن $$-2\pi$$ يجب أن تختصر)

   $$D = b-a-\sqrt{2}$$
2. [cite_start]ب) أحسب $$D$$ إذا علمت أن $$a-b=3-\sqrt{2}$$[cite: 59].
   إظهار/إخفاء الحل
   لدينا $$a-b = 3-\sqrt{2}$$، إذن $$b-a = -(a-b)$$

   $$b-a = -(3-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-3$$

   نعوض $$b-a$$ في الصيغة المبسّطة (مع تجاهل $$-2\pi$$):

   $$D = (b-a) - \sqrt{2}$$

   $$D = (\sqrt{2}-3) - \sqrt{2}$$

   $$D = -3$$
3. (2) [cite_start]اختصر العبارات التالية[cite: 61]:
   [cite_start]أ) $$p=2(3-2\sqrt{3})-(3\sqrt{3}-2)(3-4\sqrt{3})$$ [cite: 57]
   [cite_start]ب) $$q=3\sqrt{28}-7\sqrt{63}-12\sqrt{112}+5\sqrt{175}-2\sqrt{700}$$ [cite: 58]
   إظهار/إخفاء الحل
   **تبسيط العبارة $$p$$:**

   $$p = 2(3-2\sqrt{3}) - [3\sqrt{3}(3) - 3\sqrt{3}(4\sqrt{3}) - 2(3) + 2(4\sqrt{3})]$$

   $$p = 6 - 4\sqrt{3} - [9\sqrt{3} - 12(3) - 6 + 8\sqrt{3}]$$

   $$p = 6 - 4\sqrt{3} - [17\sqrt{3} - 36 - 6]$$

   $$p = 6 - 4\sqrt{3} - 17\sqrt{3} + 42$$

   $$p = (6+42) + (-4\sqrt{3} - 17\sqrt{3})$$

   $$p = 48 - 21\sqrt{3}$$

   **تبسيط العبارة $$q$$:**

   $$q=3\sqrt{4\times 7}-7\sqrt{9\times 7}-12\sqrt{16\times 7}+5\sqrt{25\times 7}-2\sqrt{100\times 7}$$

   $$q = 3(2\sqrt{7}) - 7(3\sqrt{7}) - 12(4\sqrt{7}) + 5(5\sqrt{7}) - 2(10\sqrt{7})$$

   $$q = 6\sqrt{7} - 21\sqrt{7} - 48\sqrt{7} + 25\sqrt{7} - 20\sqrt{7}$$

   $$q = (6 - 21 - 48 + 25 - 20)\sqrt{7}$$

   $$q = (31 - 89)\sqrt{7}$$

   $$q = -58\sqrt{7}$$
4. (3) [cite_start]أ) نعتبر العبارتين $$A=2\sqrt{32}-4\sqrt{2}-\sqrt{18}-1$$ و $$B=\sqrt{24}-3\sqrt{2}+1$$[cite: 62]. [cite_start]ماذا تستنتج بالنسبة إلى $$A$$ و $$B$$ [cite: 63]؟
   إظهار/إخفاء الحل
   **تبسيط العبارة $$A$$:**

   $$A=2\sqrt{16\times 2}-4\sqrt{2}-\sqrt{9\times 2}-1$$

   $$A = 2(4\sqrt{2}) - 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 1$$

   $$A = 8\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 1$$

   $$A = (8-4-3)\sqrt{2} - 1$$

   $$A = \sqrt{2} - 1$$

   **تبسيط العبارة $$B$$:**

   $$B=\sqrt{4\times 6}-3\sqrt{2}+1$$

   $$B = 2\sqrt{6} - 3\sqrt{2} + 1$$

   **الاستنتاج:** لا يوجد علاقة مباشرة بين $A$ و $B$ (ليستا متساويتين أو متقابلتين).
5. [cite_start]ب) أحسب $$\sqrt{24}-3$$[cite: 64].
   إظهار/إخفاء الحل
   $$\sqrt{24}-3$$

   $$\sqrt{4\times 6}-3$$

   $$2\sqrt{6}-3$$

الشكل يمثل مستطيلاً كبيراً أُزيل منه مستطيل صغير (المساحة البيضاء). [cite_start]الأبعاد على الشكل[cite: 49, 71, 72, 73]:

• عرض المستطيل الكبير: $$7x+1$$
• طول المستطيل الكبير: $$2x+3$$
• طول المستطيل المزال (الجزء العلوي الأيمن): $$3x-2$$

1. (1) [cite_start]أكتب المساحة المشطوبة $$A$$ بدلالة $$x$$[cite: 68].
   إظهار/إخفاء الحل
   مساحة المستطيل الكبير: $$S_{ك} = (7x+1)(2x+3)$$

   من الشكل، نجد أن عرض المستطيل الصغير المزال هو $$2x+3$$ (الضلع المقابل).

   مساحة المستطيل المزال: $$S_{ص} = (2x+3)(3x-2)$$

   المساحة المشطوبة $$A$$ هي الفرق بين المساحتين:

   $$A = S_{ك} - S_{ص}$$

   $$A = (7x+1)(2x+3) - (2x+3)(3x-2)$$

   **نستخرج العامل المشترك** $$(2x+3)$$

   $$A = (2x+3)[(7x+1) - (3x-2)]$$

   $$A = (2x+3)[7x+1 - 3x+2]$$

   $$A = (2x+3)(4x+3)$$
2. (2) [cite_start]أنشر واختصر العبارة $$A$$[cite: 68].
   إظهار/إخفاء الحل
   $$A = (2x+3)(4x+3)$$

   $$A = (2x)(4x) + (2x)(3) + (3)(4x) + (3)(3)$$

   $$A = 8x^{2} + 6x + 12x + 9$$

   $$A = 8x^{2} + 18x + 9$$
3. (3) [cite_start]أحسب $$A$$ إذا علمت أن $$x=\frac{3}{4}$$[cite: 69].
   إظهار/إخفاء الحل
   نستعمل الصيغة المفككة: $$A = (2x+3)(4x+3)$$

   $$A = \left(2\left(\frac{3}{4}\right)+3\right) \left(4\left(\frac{3}{4}\right)+3\right)$$

   $$A = \left(\frac{3}{2}+3\right) (3+3)$$

   $$A = \left(\frac{3}{2}+\frac{6}{2}\right) (6)$$

   $$A = \left(\frac{9}{2}\right) (6)$$

   $$A = \frac{54}{2}$$

   $$A = 27$$
4. (4) [cite_start]أوجد أبعاد مستطيل له نفس المساحة $$A$$[cite: 70].
   إظهار/إخفاء الحل
   من السؤال (1)، المساحة $$A$$ في صيغة جذاء عاملين هي:

   $$A = (2x+3)(4x+3)$$

   بما أن مساحة المستطيل تساوي جداء طوليه، فإن أبعاده هي $$2x+3$$ و $$4x+3$$.

نعتبر مستقيماً مدرجاً بالأعداد الحقيقية $$(O,I)$$[cite: 76].

1. [cite_start]-2- حدد فاصلة النقطة $K$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $B$ [cite: 85] [cite_start]حيث $$x_{A}=3+\sqrt{5}$$ [cite: 82] [cite_start]و $$x_{B}=1-\sqrt{5}$$[cite: 80].
   إظهار/إخفاء الحل
   $K$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $B$ $\implies$ $B$ هي منتصف القطعة $$[AK]$$.

   إذن: $$x_{B} = \frac{x_{A}+x_{K}}{2}$$

   $$2x_{B} = x_{A}+x_{K}$$

   $$x_{K} = 2x_{B} - x_{A}$$

   نعوض بالقيم المعطاة:

   $$x_{K} = 2(1-\sqrt{5}) - (3+\sqrt{5})$$

   $$x_{K} = 2 - 2\sqrt{5} - 3 - \sqrt{5}$$

   $$x_{K} = (2-3) + (-2\sqrt{5} - \sqrt{5})$$

   $$x_{K} = -1 - 3\sqrt{5}$$
2. [cite_start]-2- أحسب الأبعاد $$AB$$ و $$IC$$ و $$IB$$[cite: 83].
   إظهار/إخفاء الحل
   **ملاحظة:** بما أن حساب المسافة في المستوي المدرج ممنوع باستخدام الجذر التربيعي، سنقوم بحساب المسافات على المستقيم المدرج فقط.

   **حساب $$AB$$:**

   $$AB = |x_{B} - x_{A}|$$

   $$AB = |(1-\sqrt{5}) - (3+\sqrt{5})|$$

   $$AB = |1-\sqrt{5} - 3-\sqrt{5}|$$

   $$AB = |-2 - 2\sqrt{5}|$$

   $$AB = 2+2\sqrt{5}$$

   **حساب $$IB$$:** (حيث $I$ فاصلتها 1)

   $$IB = |x_{B} - x_{I}| = |(1-\sqrt{5}) - 1|$$

   $$IB = |-\sqrt{5}| = \sqrt{5}$$

   **حساب $$IC$$:** (النقطة $C$ غير معطاة في هذا الجزء. نفترض أن السؤال يشير إلى نقطة $L$ فاصلتها $x_{L}=\sqrt{2}+2$)

   $$IL = |x_{L} - x_{I}| = |(\sqrt{2}+2) - 1|$$

   $$IL = |\sqrt{2}+1| = \sqrt{2}+1$$

نعتبر العبارتين $$E=3-6x$$ و $$F=(x-2)(2x-1)-(2-x)(1+x)$$[cite: 87].

1. (1) [cite_start]فكك $$E$$ و $$F$$ و $$EF$$ إلى جذاء عوامل[cite: 88].
   إظهار/إخفاء الحل
   **تفكيك $$E$$:**

   $$E = 3-6x$$

   $$E = 3(1-2x)$$

   **تفكيك $$F$$:**

   $$F = (x-2)(2x-1)-(2-x)(1+x)$$

   $$F = (x-2)(2x-1)-(-(x-2))(1+x)$$

   $$F = (x-2)(2x-1) + (x-2)(1+x)$$

   **نستخرج العامل المشترك** $$(x-2)$$

   $$F = (x-2) [(2x-1) + (1+x)]$$

   $$F = (x-2) [3x]$$

   $$F = 3x(x-2)$$

   **تفكيك $$EF$$:**

   $$EF = E \times F$$

   $$EF = [3(1-2x)] \times [3x(x-2)]$$

   $$EF = 9x(1-2x)(x-2)$$
2. (2) [cite_start]أوجد $$x$$ بحيث يكون $$E$$ و $$5-5x$$ متقابلان (بافتراض أن السؤال يقصد $E$ و $5-5x$ وليس $EF$)[cite: 89].
   إظهار/إخفاء الحل
   العبارتان متقابلتان $\implies$ مجموعهما يساوي الصفر.

   $$E + (5-5x) = 0$$

   $$3(1-2x) + 5(1-x) = 0$$

   $$3 - 6x + 5 - 5x = 0$$

   $$8 - 11x = 0$$

   $$11x = 8$$

   $$x = \frac{8}{11}$$

نعتبر معيناً $$(O,I,J)$$[cite: 93]. [cite_start]عين النقاط $A(-5, -3)$ و $B(7, 3)$[cite: 93].

1. ب) المستقيم المار من $A$ و الموازي لـ $$(OI)$$ يقطع المستقيم المار من $B$ و الموازي لـ $$(OJ)$$ في النقطة $C$. [cite_start]ابحث عن إحداثيات النقطة $C$[cite: 94].
   إظهار/إخفاء الحل
   المستقيم المار من $A(-5, -3)$ والموازي لـ $$(OI)$$ (محور الأفاصيل) هو مستقيم إرتوبه $y=y_{A}=-3$.

   المستقيم المار من $B(7, 3)$ والموازي لـ $$(OJ)$$ (محور الأراتيب) هو مستقيم أفصوله $x=x_{B}=7$.

   نقطة التقاطع $C$ لها الأفصول $x_{B}$ والإرتوب $y_{A}$.

   إحداثيات $C$ هي $C(7, -3)$.
2. ج) المستقيم المار من $A$ و الموازي لـ $$(OJ)$$ يقطع المستقيم المار من $B$ و الموازي لـ $$(OI)$$ في النقطة $D$. [cite_start]ابحث عن إحداثيات النقطة $D$[cite: 95].
   إظهار/إخفاء الحل
   المستقيم المار من $A(-5, -3)$ والموازي لـ $$(OJ)$$ (محور الأراتيب) هو مستقيم أفصوله $x=x_{A}=-5$.

   المستقيم المار من $B(7, 3)$ والموازي لـ $$(OI)$$ (محور الأفاصيل) هو مستقيم إرتوبه $y=y_{B}=3$.

   نقطة التقاطع $D$ لها الأفصول $x_{A}$ والإرتوب $y_{B}$.

   إحداثيات $D$ هي $D(-5, 3)$.
3. [cite_start]د) بين أن $$(AC)$$ و $$(BD)$$ متوازيان[cite: 96].
   إظهار/إخفاء الحل
   إحداثيات النقطتين $A(-5, -3)$ و $C(7, -3)$.

   نلاحظ أن للنقطتين $A$ و $C$ إرتوبان متساويان ($y=-3$).

   إذن المستقيم $$(AC)$$ أفقي، فهو يوازي محور الأفاصيل $$(OI)$$.

   إحداثيات النقطتين $B(7, 3)$ و $D(-5, 3)$.

   نلاحظ أن للنقطتين $B$ و $D$ إرتوبان متساويان ($y=3$).

   إذن المستقيم $$(BD)$$ أفقي، فهو يوازي محور الأفاصيل $$(OI)$$.

   بما أن $$(AC) // (OI)$$ و $$(BD) // (OI)$$، فإن $$(AC) // (BD)$$.
4. [cite_start]س) بين أن الرباعي $$ACBD$$ متوازي أضلاع[cite: 96].
   إظهار/إخفاء الحل
   نتحقق من منتصفات أقطار الرباعي $$ACBD$$. أقطاره هما $$[AB]$$ و $$[CD]$$.

   $A(-5, -3)$, $B(7, 3)$, $C(7, -3)$, $D(-5, 3)$.

   **منتصف القطر $$[AB]$$:**

   $$M_{AB} = \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2} , \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

   $$M_{AB} = \left(\frac{-5+7}{2} , \frac{-3+3}{2}\right) = \left(\frac{2}{2} , \frac{0}{2}\right) = (1, 0)$$

   **منتصف القطر $$[CD]$$:**

   $$M_{CD} = \left(\frac{x_{C}+x_{D}}{2} , \frac{y_{C}+y_{D}}{2}\right)$$

   $$M_{CD} = \left(\frac{7+(-5)}{2} , \frac{-3+3}{2}\right) = \left(\frac{2}{2} , \frac{0}{2}\right) = (1, 0)$$

   بما أن لقطري الرباعي $$ACBD$$ نفس المنتصف، فإنه متوازي أضلاع.