فرض مراقبة عدد 2 في مادة الرياضيات

(1) تبسيط العبارة $$\frac{2}{2+\sqrt{3}}$$

$$ \frac{2}{2+\sqrt{3}} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} $$

$$ = \frac{4-2\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} $$

$$ = \frac{4-2\sqrt{3}}{4-3} = 4-2\sqrt{3} $$

وبما أن $2\sqrt{3} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12}$:

$$ = 4-\sqrt{12} $$

الإجابة الصحيحة هي **(د)**: $$4-\sqrt{12}$$

(2) تبسيط العبارة $$\frac{(\sqrt{6}+2)^{2}}{2}$$

$$ \frac{(\sqrt{6}+2)^{2}}{2} = \frac{(\sqrt{6})^2 + 2(\sqrt{6})(2) + 2^2}{2} $$

$$ = \frac{6 + 4\sqrt{6} + 4}{2} $$

$$ = \frac{10 + 4\sqrt{6}}{2} $$

$$ = 5 + 2\sqrt{6} $$

الإجابة الصحيحة هي **(ب)**: $$5+2\sqrt{6}$$

(3) تبسيط العبارة $$\frac{10-4\sqrt{2}}{-7\sqrt{2}}$$

نضرب البسط والمقام في $\sqrt{2}$ للتخلص من الجذر في المقام:

$$ \frac{10-4\sqrt{2}}{-7\sqrt{2}} = \frac{(10-4\sqrt{2})\sqrt{2}}{(-7\sqrt{2})\sqrt{2}} $$

$$ = \frac{10\sqrt{2} - 4(\sqrt{2})^2}{-7 \times 2} $$

$$ = \frac{10\sqrt{2} - 8}{-14} $$

نقسم البسط والمقام على 2:

$$ = \frac{5\sqrt{2} - 4}{-7} $$

$$ = \frac{-(4 - 5\sqrt{2})}{-7} = \frac{4 - 5\sqrt{2}}{7} $$

بالنظر إلى الإجابات المقترحة، فإن الإجابة (ج) هي $\frac{-5\sqrt{2}+4}{7}$، وهي نفس النتيجة التي توصلنا إليها.

الإجابة الصحيحة هي **(ج)**: $$\frac{-5\sqrt{2}+4}{7}$$

(4) حساب البعد $OM$ في المربع

قيس طول ضلع المربع $c = \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$.

$O$ هو مركز المربع، و $M$ منتصف $[AB]$. البعد $OM$ هو نصف قيس طول الضلع $c$.

$$ OM = \frac{c}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} $$

$$ OM = \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} $$

الإجابة الصحيحة هي **(ج)**: $$\frac{3}{\sqrt{2}}$$

(1) تبسيط العبارتين $a$ و $b$

* تبسيط $a$:

$$a = \frac{-1}{3}(2\sqrt{45}-8\sqrt{9})-(\sqrt{20}-1)$$

$$a = \frac{-1}{3}(2\sqrt{9 \times 5} - 8 \times 3) - (\sqrt{4 \times 5} - 1)$$

$$a = \frac{-1}{3}(2 \times 3\sqrt{5} - 24) - (2\sqrt{5} - 1)$$

$$a = \frac{-1}{3}(6\sqrt{5} - 24) - 2\sqrt{5} + 1$$

$$a = -2\sqrt{5} + 8 - 2\sqrt{5} + 1$$

$$a = 9 - 4\sqrt{5}$$

* تبسيط $b$:

$$b = \frac{3}{\sqrt{5}-2}+\sqrt{20}+|\sqrt{5}-\sqrt{9}|$$

$$b = \frac{3(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} + 2\sqrt{5} + |\sqrt{5}-3|$$

بما أن $3^2=9$ و $(\sqrt{5})^2=5$، فإن $\sqrt{5} < 3$ أي $\sqrt{5}-3 < 0$. إذن $|\sqrt{5}-3| = -(\sqrt{5}-3) = 3-\sqrt{5}$.

$$b = \frac{3\sqrt{5}+6}{5-4} + 2\sqrt{5} + 3-\sqrt{5}$$

$$b = 3\sqrt{5}+6 + 2\sqrt{5} + 3-\sqrt{5}$$

$$b = (3+2-1)\sqrt{5} + (6+3) = 9 + 4\sqrt{5}$$

(2) تبيان العلامة وعلاقة العددين $a$ و $b$

(أ) تبيان أن $a$ و $b$ لهما نفس العلامة:

لدينا $b = 9 + 4\sqrt{5}$، وهو بوضوح **عدد موجب**.

لدينا $a = 9 - 4\sqrt{5}$. نقارن $9$ و $4\sqrt{5}$:

$$ 9^2 = 81 $$

$$ (4\sqrt{5})^2 = 16 \times 5 = 80 $$

بما أن $81 > 80$، فإن $9 > 4\sqrt{5}$.

إذن $a = 9 - 4\sqrt{5}$ هو **عدد موجب**.

وبالتالي، $a$ و $b$ لهما نفس العلامة (موجبة).

(ب) استنتاج (نفترض: استنتاج كونهما مقلوبان):

نحسب الجذاء $a \times b$:

$$ a \times b = (9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) $$

$$ a \times b = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 $$

$$ a \times b = 81 - 80 $$

$$ a \times b = 1 $$

بما أن $a \times b = 1$، نستنتج أن $a$ و $b$ **عددان مقلوبان**.

(3) حساب العبارة $$|b(\frac{1}{b^{2}}-2a)|$$

نعلم أن $a \times b = 1$، إذن $\frac{1}{b} = a$.

$$ |b(\frac{1}{b^{2}}-2a)| = |b(\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{b} - 2a)| $$

$$ = |b(a \cdot a - 2a)| = |b(a^2 - 2a)| $$

$$ = |ba^2 - 2ab| $$

نعوض $ab=1$:

$$ = |(ab)a - 2(ab)| = |(1)a - 2(1)| $$

$$ = |a - 2| $$

لدينا $a = 9 - 4\sqrt{5}$. قارنا سابقاً $9$ و $4\sqrt{5}$ ووجدنا أن $9 > 4\sqrt{5}$، أي $a > 0$.

نقارن $a$ و $2$: هل $9 - 4\sqrt{5} > 2$؟ $\Leftrightarrow 7 > 4\sqrt{5}$.

$$ 7^2 = 49 $$

$$ (4\sqrt{5})^2 = 80 $$

بما أن $49 < 80$، فإن $7 < 4\sqrt{5}$.

إذن $9 - 4\sqrt{5} < 2$ أي $a < 2$.

بما أن $a < 2$، فإن $a - 2$ عدد سالب، وبالتالي $|a - 2| = -(a - 2)$

$$ = 2 - a $$

$$ = 2 - (9 - 4\sqrt{5}) $$

$$ = 2 - 9 + 4\sqrt{5} = -7 + 4\sqrt{5} $$

(4) حساب مساحة المستطيل

المساحة $S$ هي جذاء البعدين $a$ و $b$:

$$ S = a \times b $$

$$ S = (9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) $$

$$ S = 1 $$

مساحة المستطيل هي **1 وحدة مربعة**.