مراجعة للفرض العادي رقم 2 - التاسعة أساسي (مثال رقم 19)

الإصلاح:

(1) تبسيط العبارة:

$$5\sqrt{12}-\sqrt{75}=5\sqrt{4\times 3}-\sqrt{25\times 3}$$

$$=5\times 2\sqrt{3}-5\sqrt{3}$$

$$=10\sqrt{3}-5\sqrt{3}$$

$$=5\sqrt{3}$$

الجواب الصحيح: $$5\sqrt{3}$$

(2) تحديد مجموعة النقاط:

الشرط الأول: $$x\le3$$

الشرط الثاني: $$9y=1$$

$$9y=1 \implies y=\frac{1}{9}$$

مجموعة النقاط هي القطعة المستقيمة التي تحقق $$y=\frac{1}{9}$$ و $$x\in ]-\infty, 3]$$ (نصف مستقيم أفقي)

بما أن الإجابات المقترحة لا تمثل مجموعة نقاط أو مجالاً، نعتبر الإجابة "لا يمكن" أو إجابة أخرى.

الجواب الصحيح: لا يمكن تحديده بناء على الخيارات، لكن التعبير الصحيح للمجموعة هو $$M(x, \frac{1}{9})$$ حيث $$x\le 3$$

(3) حل التناسب:

التناسب هو: $$\frac{\sqrt{x^{2}+7}}{1}=\frac{\sqrt{2}-4}{2}$$

$$\sqrt{x^{2}+7}=\frac{\sqrt{2}-4}{2}$$

نلاحظ أن $$\sqrt{2} \approx 1.41$$، إذن $$\sqrt{2}-4$$ هو عدد سالب.

وبالتالي فإن $$\frac{\sqrt{2}-4}{2}$$ هو عدد سالب.

لكن الطرف الأيسر $$\sqrt{x^{2}+7}$$ هو جذر تربيعي، وهو دائماً موجب (أو صفر) لأي عدد حقيقي $x$.

إذن، لا يمكن أن يكون جذر تربيعي موجباً مساوياً لعدد سالب.

الجواب الصحيح: لا يمكن

الإصلاح:

(1) تبسيط $E$ و $F$:

**تبسيط $E$:**

$$E=3\sqrt{3}-\left(\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}{2}+2\sqrt{3}\right)+\frac{3}{2}-\sqrt{2}$$

$$E=3\sqrt{3}-\left(\frac{3}{2}+2\sqrt{3}\right)+\frac{3}{2}-\sqrt{2}$$

$$E=3\sqrt{3}-\frac{3}{2}-2\sqrt{3}+\frac{3}{2}-\sqrt{2}$$

$$E=(3\sqrt{3}-2\sqrt{3})+(-\frac{3}{2}+\frac{3}{2})-\sqrt{2}$$

$$E=\sqrt{3}-\sqrt{2}$$

**تبسيط $F$:**

$$F=\sqrt{9\times 3}-\sqrt{4\times 2}+\sqrt{9\times 2}-\sqrt{4\times 3}$$

$$F=3\sqrt{3}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$$

$$F=(3\sqrt{3}-2\sqrt{3})+(-2\sqrt{2}+3\sqrt{2})$$

$$F=\sqrt{3}+\sqrt{2}$$

(2) تبيان أن $E$ مقلوب $F$:

نحسب الجذاء $E \times F$:

$$E\times F=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})$$

$$E\times F=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2$$

$$E\times F=3-2=1$$

بما أن $E \times F = 1$، فإن $$E$$ هو **مقلوب** $$F$$ ($$\frac{1}{F}=E$$).

(3) اختصار العبارة:

العبارة هي $$3E(1-2F)+2F\left(2-\frac{3}{F}\right)$$

نوزع الجذاء ونعوض $\frac{1}{F}=E$:

$$=3E-6EF+4F-2F\times \frac{3}{F}$$

بما أن $$EF=1$$ و $$F\times \frac{1}{F}=1$$:

$$=3E-6(1)+4F-2(3)$$

$$=3E-6+4F-6$$

$$=3E+4F-12$$

نعوض $E=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ و $F=\sqrt{3}+\sqrt{2}$:

$$=3(\sqrt{3}-\sqrt{2})+4(\sqrt{3}+\sqrt{2})-12$$

$$=3\sqrt{3}-3\sqrt{2}+4\sqrt{3}+4\sqrt{2}-12$$

$$=(3\sqrt{3}+4\sqrt{3})+(-3\sqrt{2}+4\sqrt{2})-12$$

$$=7\sqrt{3}+\sqrt{2}-12$$

(4) حل المعادلات:

**(أ) حل $$\sqrt{x^{2}+5}=2$$**

بما أن الطرفين موجبان، نربع الطرفين:

$$(\sqrt{x^{2}+5})^2=2^2$$

$$x^{2}+5=4$$

$$x^{2}=4-5$$

$$x^{2}=-1$$

بما أن مربع عدد حقيقي يجب أن يكون موجباً (أو صفراً)، لا يمكن أن يساوي $$-1$$

إذن، مجموعة الحلول هي **المجموعة الفارغة** ($$S_{\mathbb{R}}=\emptyset$$).

**(ب) حل $$|2x+1|=|x-2|$$**

إذا تساوى قيمتان مطلقتان، فإن ما بداخلهما متساوي أو متقابل:

**الحالة 1: $$(2x+1)=(x-2)$$**

$$2x-x=-2-1$$

$$x=-3$$

**الحالة 2: $$(2x+1)=-(x-2)$$**

$$2x+1=-x+2$$

$$2x+x=2-1$$

$$3x=1$$

$$x=\frac{1}{3}$$

مجموعة الحلول هي: $$S_{\mathbb{R}}=\left\{-3, \frac{1}{3}\right\}$$

الإصلاح:

(1) تبيان التفكيك:

نركز على الحد الثاني $$- \sqrt{3}x + 3$$:

$$-\sqrt{3}x+3=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}\times \sqrt{3}$$

$$=-\sqrt{3}(x-\sqrt{3})$$

نعوض في $$A$$ ونخرج العامل المشترك $$(x-\sqrt{3})$$:

$$A=(x-\sqrt{3})(2x+2\sqrt{3})-\sqrt{3}(x-\sqrt{3})$$

$$A=(x-\sqrt{3})[(2x+2\sqrt{3})-\sqrt{3}]$$

$$A=(x-\sqrt{3})(2x+2\sqrt{3}-\sqrt{3})$$

$$A=(x-\sqrt{3})(2x+\sqrt{3})$$

(2) حساب $A$ عندما $$x=\frac{1}{2}$$:

نعوض في العبارة المفككة $A=(x-\sqrt{3})(2x+\sqrt{3})$:

$$A=\left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}\right)\left(2\left(\frac{1}{2}\right)+\sqrt{3}\right)$$

$$A=\left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}\right)(1+\sqrt{3})$$

$$A=\frac{1}{2}(1+\sqrt{3})-\sqrt{3}(1+\sqrt{3})$$

$$A=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}-3$$

$$A=(\frac{1}{2}-3)+(\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3})$$

$$A=-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-5-\sqrt{3}}{2}$$

(3) إيجاد $A$ عندما $$x=-\sqrt{2}$$:

نعوض في العبارة المفككة $A=(x-\sqrt{3})(2x+\sqrt{3})$:

$$A=(-\sqrt{2}-\sqrt{3})(2(-\sqrt{2})+\sqrt{3})$$

$$A=(-\sqrt{2}-\sqrt{3})(-2\sqrt{2}+\sqrt{3})$$

نخرج $$-1$$ عاملاً مشتركاً من القوس الأول:

$$A=-(\sqrt{2}+\sqrt{3})(-2\sqrt{2}+\sqrt{3})$$

$$A=-[\sqrt{2}(-2\sqrt{2})+\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{3}(-2\sqrt{2})+\sqrt{3}\sqrt{3}]$$

$$A=-[-4+\sqrt{6}-2\sqrt{6}+3]$$

$$A=-[-1-\sqrt{6}]=1+\sqrt{6}$$

(4) إيجاد $x$ إذا كان $$A-3=2x\sqrt{3}$$:

نستخدم العبارة الأصلية لـ $A$ قبل التفكيك:

$$A=(x-\sqrt{3})(2x+2\sqrt{3})-\sqrt{3}x+3$$

المعادلة تصبح:

$$\left[(x-\sqrt{3})(2x+2\sqrt{3})-\sqrt{3}x+3\right]-3=2x\sqrt{3}$$

$$\left[(x-\sqrt{3})(2x+2\sqrt{3})-\sqrt{3}x\right]=2x\sqrt{3}$$

بالنشر:

$$2x^2+2x\sqrt{3}-2x\sqrt{3}-6-\sqrt{3}x=2x\sqrt{3}$$

$$2x^2-\sqrt{3}x-6=2x\sqrt{3}$$

$$2x^2-\sqrt{3}x-2x\sqrt{3}-6=0$$

$$2x^2-3\sqrt{3}x-6=0$$

ملاحظة: لحل هذه المعادلة من الدرجة الثانية، نحتاج إلى مفاهيم غير مبرمجة في السنة التاسعة أساسي (المميز $\Delta$).

إذا كان القصد هو حل المعادلة $$A=0$$، فإن الحلول هي $$x=\frac{3}{2}$$ و $$x=\sqrt{3}$$

بما أن السؤال هو $$A-3=2x\sqrt{3}$$، نعتبر الإجابة النهائية هي المعادلة من الدرجة الثانية، ما لم يكن هناك خطأ في صياغة التمرين.

الإصلاح:

(2) تحديد إحداثيات $B$:

المستقيم المار من $$A(-2,-2)$$ والموازي لـ $$(OJ)$$ (محور التراتيب) هو المستقيم العمودي الذي فاصلته $$x_A$$ أي $$x=-2$$.

المستقيم المار من $$C(2,2)$$ والموازي لـ $$(OI)$$ (محور الفواصل) هو المستقيم الأفقي الذي ترتيبته $$y_C$$ أي $$y=2$$.

نقطة التقاطع $B$ تحقق الشرطين: $$x=-2$$ و $$y=2$$

إذن إحداثيات $$B$$ هي **$$B(-2,2)$$**.

(3) مجموعة النقاط $M(x,y)$:

الشرط $$y=2$$ يعني أن النقاط تنتمي للمستقيم الأفقي المار من $C$ و $B$ (أي المستقيم $$(BC)$$).

الشرط $$-3\le x\le3$$ يعني أن النقاط محصورة بين العموديين $x=-3$ و $x=3$

مجموعة النقاط هي **قطعة مستقيمة** محصورة بين الفاصلتين $$-3$$ و $$3$$ على المستقيم ذو الترتيبة $$y=2$$.

(4) تبيان أن المثلث $$AOB$$ قائم الزاوية:

النقط $O(0,0), A(-2,-2), B(-2,2)$

نحسب أطوال الأضلاع (بما أن المستوى متعامد، نستخدم دستور المسافة):

$$OA^2=(-2-0)^2+(-2-0)^2=4+4=8$$

$$OB^2=(-2-0)^2+(2-0)^2=4+4=8$$

$$AB^2=(-2-(-2))^2+(2-(-2))^2=0^2+4^2=16$$

نلاحظ أن: $$OA^2+OB^2=8+8=16$$

وبما أن $$AB^2=16$$

إذن $$OA^2+OB^2=AB^2$$

حسب نظرية فيثاغورس العكسية، فإن المثلث $$AOB$$ **قائم الزاوية في $O$**.

ملاحظة: بما أن $$OA=OB$$, فالمثلث قائم ومتساوي الساقين في $O$.

(5) تعيين إحداثيات $E$ منتصف $$[AB]$$:

نستخدم دستور الإحداثيات للمنتصف: $$E\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

$$x_E=\frac{-2+(-2)}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$

$$y_E=\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{2}=0$$

إذن إحداثيات $$E$$ هي **$$E(-2,0)$$**.

(6) تحديد إحداثيات $D$ ليكون $$ACBD$$ متوازي أضلاع:

الرباعي $$ACBD$$ متوازي أضلاع إذا كانت أقطاره $[AB]$ و $[CD]$ لها نفس المنتصف.

منتصف $[AB]$ هي $$E(-2,0)$$

يجب أن تكون $$E$$ منتصف $[CD]$ أيضاً. $$C(2,2), D(x_D, y_D)$$

الإحداثيات السينية: $$x_E=\frac{x_C+x_D}{2} \implies -2=\frac{2+x_D}{2}$$

$$\implies -4=2+x_D \implies x_D=-6$$

الإحداثيات الصادية: $$y_E=\frac{y_C+y_D}{2} \implies 0=\frac{2+y_D}{2}$$

$$\implies 0=2+y_D \implies y_D=-2$$

إذن إحداثيات $$D$$ هي **$$D(-6,-2)$$**.

(7) تبيان أن المثلث $$ABD$$ قائم الزاوية في $A$:

النقط: $$A(-2,-2), B(-2,2), D(-6,-2)$$

نحسب أطوال الأضلاع:

$$AB^2=16$$ (محسوب سابقاً)

$$AD^2=(-6-(-2))^2+(-2-(-2))^2=(-4)^2+0^2=16$$

$$BD^2=(-6-(-2))^2+(-2-2)^2=(-4)^2+(-4)^2=16+16=32$$

نلاحظ أن: $$AB^2+AD^2=16+16=32$$

وبما أن $$BD^2=32$$

إذن $$AB^2+AD^2=BD^2$$

حسب نظرية فيثاغورس العكسية، فإن المثلث $$ABD$$ **قائم الزاوية في $A$**.

(8) تبيان أن $E$ و $I$ و $C$ و $D$ على استقامة واحدة:

النقط: $$E(-2,0)$$, $$I(1,0)$$ (نقطة أساس المعلم), $$C(2,2)$$, $$D(-6,-2)$$

النقط $$E(-2,0)$$ و $$I(1,0)$$ تنتميان إلى محور الفواصل $$(OI)$$ ($$y=0$$).

يجب تحديد مستقيم يمر من $C$ و $D$ والتحقق من أن $E$ و $I$ تنتميان إليه (هذه تتطلب معادلات مستقيم وهي ممنوعة).

**الطريقة المسموح بها (باستخدام التناسب):**

لتبيان أن $$D, I, C$$ على استقامة واحدة، يجب أن تكون النقطة $I$ (أو $D$ أو $C$) منتصفاً أو تحقق علاقة تناسبية بسيطة.

نبحث عن منتصف $$[CD]$$: هي $$E(-2,0)$$

نبحث عن منتصف $$[ED]$$: هي $M_{ED} \left(\frac{-2+(-6)}{2}, \frac{0+(-2)}{2}\right) = M_{ED}(-4,-1)$

بما أن $E$ و $I$ تنتميان لمحور الفواصل $$(OI)$$ ($$y=0$$)، فهما على استقامة واحدة.

بما أن $C(2,2)$ و $D(-6,-2)$، النقطة $O(0,0)$ هي منتصف $$[CD]$$. **هذا خطأ.** منتصف $C(2,2)$ و $D(-6,-2)$ هو $E(-2,0)$.

بما أن $$C(2,2)$$ و $$D(-6,-2)$$، والنقطة $E(-2,0)$ هي منتصف $$[CD]$$، فإن $D, E, C$ **على استقامة واحدة**.

النقط $E(-2,0)$ و $I(1,0)$ على استقامة واحدة (محور الفواصل).

بما أن $E$ تنتمي إلى $$(CD)$$ و $E$ تنتمي إلى $$(OI)$$، فإن النقاط الأربعة تكون على استقامة واحدة إذا كان المستوي هو نفس المستقيم، وهو غير صحيح.

نستنتج أن $D, E, C$ على استقامة واحدة، و $E, I$ على استقامة واحدة (محور الفواصل). النقطة $E$ هي نقطة التقاطع.

العبارة التي يجب إثباتها هي أن $I, C, D$ على استقامة واحدة مع $E$ (لأن $E$ منتصف $[CD]$). لكن $I(1,0)$ ليست على المستقيم $(CD)$ لأن $E(-2,0)$ هي نقطة التقاطع مع محور الفواصل.

بالنظر إلى الإحداثيات، لا يمكن أن تكون النقاط $E(-2,0)$, $I(1,0)$, $C(2,2)$, $D(-6,-2)$ على استقامة واحدة.

إذن، نستنتج أن السؤال يهدف إلى تبيان أن $$D, E, C$$ على استقامة واحدة (E منتصف $[CD]$) وأن $$E, I$$ على استقامة واحدة (محور الفواصل).